Fluix (matemàtiques)

Fluix en l'espai de fase especificat per l'equació diferencial d'un péndola. En l'eix x, la posició de la péndola, i en l'i la seua velocitat.

Vore també: Ret de fluix

En matemàtiques, un fluix formalisa l'idea del moviment de les partícules en un decorregut. Els fluix són omnipresents en la ciència, inclosa l'ingenieria i la física. La noció de fluix és bàsica per a l'estudi de les equacions diferencials ordinàries. De manera informal, un fluix pot vore's com un moviment continu de punts a lo llarc del temps. Més formalment, un fluix és una acció grupal dels número real en un conjunt.

L'idea d'un fluix vectorial, és dir, el fluix determinat per un camp vectorial, es produïx en les àrees de topología diferencial, geometria riemanniana i grups de Lie. Els eixemples específics de fluix vectorials inclouen el fluix geodèsic, el fluix hamiltoniano, el fluix de Ricci, el fluix de curvatura mija i el fluix de Anosov. Els fluix també poden definir-se per a sistemes de variables aleatòries i processos estocàstics, i ocorren en l'estudi de sistemes dinàmics ergòdics. El més célebre d'estos és potser el fluix de Bernoulli.

Definició formal

Un fluix en un conjunt X és una acció grupal del grup aditiu de número real en X. Més explícitament, un fluix és un mapage

$\phi :X\times ℝ\to X$

de modo que, per a totes les x ∈ X i tots els número real s i t ,

$\phi (x,0)=x;$

$\phi (\phi (x,t),s)=\phi (x,s+t).$

És habitual per a escriure φ^t(x) en lloc de φ(x, t) de manera que les equacions anteriors es poden expressar com φ⁰ = Aneu (funció d'identitat ) i φ^s ∘ φ^t = φ^s+t (llei grup ). Llavors, per a tot t ∈ ℝ el φ^t: X → X mapage φ^t: X → X és una biyección en inversa φ^−t: X → X Açò es desprén de la definició anterior, i el paràmetro real t pot prendre's com una potència funcional generalisada, com en l'iteración de la funció.

Per lo general, es requerix que els fluix siguen compatibles en les estructures proporcionades en el conjunt X. En particular, si X està equipada en una topología, generalment es requerix que φ siga contínua. Si X està equipat en una estructura diferenciable, generalment es requerix que φ siga diferenciable. En estos casos, el fluix forma un subgrup de paràmetros d'homeomorfismes i difeomorfismos, respectivament.

En certes situacions, també es podrien considerar fluix locals, que es definixen solament en alguns subconjunts.

$\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(\phi )=\{(x,t)|t\in [a_x,b_x],a_x<0<b_x,x\in X\}\subset X\times ℝ$

cridat el domini de fluix de φ. Est és a sovint el cas dels fluix de camps vectorials.

Notacions alternatives

És molt comuna en molts camps, inclosos l'ingenieria, la física i l'estudi d'equacions diferencials, usar una notació que fa que el fluix siga implícit. Per lo tant, x(t) s'escriu per a φ^t(x₀) , i es podria dir que la "variable x depén del temps t i la condició inicial x = x₀".

En el cas d'un fluix d'un camp vectorial V en una varietat diferenciable X , el fluix a sovint es denota de tal manera que el seu generador es fa explícit. Per eixemple,

${\Phi }_V:X\times ℝ\to X;(x,t)\mapsto {\Phi }_V^t(x).$

Òrbites

Donat x en X , el conjunt $\{\phi (x,t):t\in ℝ\}$ es diu l'òrbita de x baix de φ. De manera informal, es pot considerar com la trayectòria d'una partícula que inicialment es va colocar en x. Si el fluix és generat per un camp vectorial, llavors les seues òrbites són les imàgens de les seues curves integrals.

Vore també

• Equació d'Abel
• Funció iterada
• Equació de Schröder
• Composicions infinites de funcions analítiques

Referències

• {{{1}}} en Springer
• {{{1}}} en Springer
• {{{1}}} en Springer
• This article incorporates material from Flow on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.