Equació de Schröder

La equació de Schröder, nomenada aixina en honor d'Ernst Schröder, és una equació funcional en una variable independent. Donada la funció $h(x)$, la solució de l'equació de Schröder és la funció $\Psi (x)$ que complix:

$\Psi (h(x))=s\Psi (x).$

L'equació de Schröder és un problema d'autovalores per al operador de composició C_h, el qual torna, per a una funció f(x), una atra funció f(h(x)).

Si a és un punt fix de h(x) (és dir, es complix que $h(a)=a$), llavors es tenen 3 possibilitats: O Ψ(a)=0, o Ψ(a)=∞ o s=1. Per tant, ya que Ψ(a) és finito i Ψ (a) no s'anula ni divergix, el autovalor s està donat per s = h' (a).

Significat en teoria de funcions

Per a a = 0, si h és analítica en el disc unitat centrat en 0, i 0 < |h′(0)| < 1, Koenigs va demostrar en 1884 que existix una solució analítica (no trivial) Ψ que satisfà l'equació de Schröder. Est va ser un dels primers passos d'una llarga llínea fructífera de teoremes entorn a la comprensió de l'operador de composició en espais de funcions analítiques. Vore per eixemple: funció de Koenigs.

Les equacions del tipo de la de Schröder són útils per a descriure l'autosimilitud, i han segut extensivamente utilisades en estudis de dinàmica no llineal (coloquialment teoria del caos). També ha segut utilisada en estudis de turbulència, aixina com en el camp del grup de renormalización.

Una equació equivalent a l'equació de Schröder és la fòrmula que complix la seua inversa respecte a la composició $\Phi (x)={\Psi }^{-1}(x)$, que verifica

$h(\Psi (y))=\Psi (sy).$

El canvi de variables α(x)=log(Ψ(x))/log(s) transforma a l'equació de Schröder en l'equació d'Abel α(h(x)) = α(x)+1.

Igualment, el canvi de variables Ψ(x) = log(φ(x)) transforma a l'equació de Schröder en l'equació de Böttcher φ(h(x))=(φ(x))^s.

La n-ésima potència d'una solució de l'equació de Schröder nos dona una atra solució de l'equació de Schröder en autovalor sⁿ. En la mateixa llínea, donada una solució invertible Ψ(x) de l'equació de Schröder, la funció (no invertible) Ψ(x) k(logΨ(x)) és també solució de la mateixa equació per a qualsevol funció periòdica k(x) en periodo log(s). Totes les solucions de l'equació de Schröder estan relacionades d'esta manera.

Solucions

L'equació de Schröder va ser resolta analíticamente para tot punt fix a atractor (pero no superatractor), açò és, si es complix que 0 < |h'(a)| < 1 per Gabriel Koenigs (1884).

En el cas del punt fix superatractor, |h'(a)| = 0, l'equació de Schröder és complicada d'estudiar, i s'ha vist que és millor transformar-la a l'equació de Böttcher.

El mateix Schröder, en el seu artícul original de 1870, va donar un bon número de solucions particulars de l'equació.

El desenroll en série entorn a un punt fix, les propietats de convergència pertinents de la solució per a l'òrbita resultant i les seues propietats analiticidad varen ser convincentemente explicades per Szekeres. Una bona cantitat de les solucions conegudes s'han construït a partir de séries asintòtiques, vore matriu de Calerman.

Vore també

• Composició de funcions
• Equació d'Abel
• Equació de Böttcher
• Raïl quadrada funcional