Série asintòtica

En matemàtiques, una expansió asintòtica o série asintòtica o "série de Poincaré" és una série formal de funcions tal que convergix asintóticamente a una funció donada, açò significa que si tallem la série s'obté una aproximació de la funció de la qual és série asintòtica, pero el llímit formal de la série quan se sumen tots els seus elements no és eixa mateixa funció, de fet divergix, podent l'argument de la série divergir també a infinit o no.

Si φ_n és una seqüència de funcions contínues sobre un domini i, si L és un punt de la frontera de dit domini (infinit o no) llavors, dita seqüència de funcions es denomina escala asintòtica si, per a n es complix:

${\phi }_{n+1}(x)=o({\phi }_n(x))(x\to L)$.

Si f és una funció contínua en el domini de l'escala asintòtica, llavors f admet una série asintòtica d'orde N $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\phi }_n(x)$ sobre l'escala si

$f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}{a}_n{\phi }_n(x)=O({\phi }_N(x))(x\to L).$

o

$f(x)-\sum _{n=0}^{N-1}{a}_n{\phi }_n(x)=o({\phi }_{N-1}(x))(x\to L).$

Si una d'estes dos condicions es complix per a tot N, $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\phi }_n(x)$ serà una série asintòtica de f, denotant-se este fet aixina:

$f(x)\sim \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{\phi }_n(x)(x\to L)$.

Vore anàlisis asintòtic, Notació de Landau i Cota superior asintòtica.

Este tipo de séries sorgixen en la fòrmula de Euler-Maclaurin i en transformades integrals com en les transformades de Laplace i de Mellin. l'integració per parts també pot donar com resultat séries asintòtiques.

Eixemples de séries asintòtiques

• Funció Gamma de Euler

$\frac{e^x}{x^x\sqrt{2\pi x}}\Gamma (x+1)\sim 1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-\frac{139}{51840x^3}-\cdots (x\to \mathrm{\infty })$

• Exponencial integral

$x{e}^x{E}_1(x)\sim \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n}n!}{x^n}(x\to \mathrm{\infty })$

• Funció zeta de Riemann

$\zeta (s)\sim \sum _{n=1}^{N-1}{n}^{-s}+\frac{N^{1-s}}{s-1}+N^{-s}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2m}{s}^{\overline{2m-1}}}{(2m)!N^{2m-1}}$
a on $B_{2m}$ són els números de Bernoulli i $s^{\overline{2m-1}}$ és un símbol de Pochhammer. Esta expansió és vàlida para tot complex s i a voltes s'utilisa per a calcular la funció zeta usant valors suficientment grans de N, de fet, que complixquen $N>|s|$.

• Funció error

$\sqrt{\pi }x{e}^{x^2}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\mathrm{c}(x)=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{(2n)!}{n!(2x{)}^{2n}}.$

Eixemple detallat

Les séries asintòtiques se solen obtindre quan s'usa una série ordinària en una expressió formal que trau a la série del seu domini de convergència. Per eixemple prengam la série geomètrica:

$\frac{1}{1-w}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{w}^n.$

La funció de l'esquerra està definida per a tot el pla complex $w\ne 1$, mentres que l'expressió de la dreta solament convergix per a complexos $|w|<1$. Multiplicant a abdós costats de l'igualtat per $e^{-w/t}$ i integrant entre 0 i $\mathrm{\infty }$ s'obté:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-w/t}}{1-w}dw=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{t}^{n+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-u}{u}^{n}du.$

L'integral de l'esquerra pot expressar-se en térmens de l'exponencial integral. L'integral de la dreta, despuix d'una substitució $u=w/t$, es veu que és la funció gamma de Euler. Evaluant abdós integrals, s'obté la següent série asintòtica:

$e^{-1/t}\mathrm{Ei}\left(\frac{1}{t}\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}n!t^{n+1}.$

Clarament la série és no convergent per a qualsevol valor de t distint de zero. No obstant, si mantenim t chicoteta i trunquem la série de la dreta a un número finit de térmens, s'obté una aproximació prou bona del valor de $\mathrm{Ei}(1/t)$. Substituint $x=-1/t$ i tenint en conte que $\mathrm{Ei}(x)=-E_1(-x)$, s'obté la série asintòtica donada més dalt en este mateix artícul.

Referències

• Bleistein, N. and Handlesman, R., Asymptotic Expansions of Integrals, Dover, New York, 1975
• A. Erdelyi, Asymptotic Expansions, Dover, New York, 1955
• Hardy, G. H., Divergent Séries, Oxford University Press, 1949
• Paris, R. B. and Kaminsky, D., Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001
• Whittaker, E. and Watson, G. N., A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press, 1963