Notació de Landau

En matemàtica, la Notació de Landau, també cridada "o minúscula" i "O mayúscula", és una notació per a la comparació asintòtica de funcions, lo que permet establir la cota inferior asintòtica, la cota superior asintòtica i la cota ajustada asintòtica.

Definició

La notació de Landau (Edmund Landau) es definix de la següent forma:

Si f(x), g(x) són funcions complexes definides en un entorn d'un punt $x_0$, llavors

• $f=O(g)$ quan $x\to x_0$ si i només si existix un $ϵ>0$ tal que $|f(x)|\le ϵ|g(x)|$ para tot $x$ en un entorn de $x_0$.
• $f=o(g)$ quan $x\to x_0$ si i només si para tot $ϵ>0$ tenim que $|f(x)|<ϵ|g(x)|$ para tot $x$ en un entorn de $x_0$.

Una versió una miqueta més restrictiva pero més manejable que la definició anterior és la següent:

Sean $f(x)$, $g(x)$ dos funcions definides per a $x>x_0.$ i siga $g(x)\ne 0\mathrm{\forall }x>x_0$. Els símbols

$f=o(g)$ , $f=O(g)$

signifiquen respectivament que $f(x)/g(x)\to 0$ quan $x\to x_0$, i que $f(x)/g(x)$ està acotat per a $x$ suficientment gran. La mateixa notació és usada quan $x$ tendix a un llímit finit o a $-\mathrm{\infty }$, o també quan $x$ tendix al seu llímit a través d'una seqüència discreta de valors. En particular, una expressió és $o(1)$ o $O(1)$ si tal expressió tendix a zero o està acotada respectivament.

Dos funcions $f(x)$ i $g(x)$ definides en un veïnat d'un punt $x_0$ (finit o infinit) són cridades asintóticamente iguals si $f(x)/g(x)\to 1$ quan $x\to x_0$

Si les fraccions $f(x)/g(x)$, $g(x)/f(x)$ estan acotades en un veïnat de $x_0$ es diu que $f(x)$, $g(x)$ són del mateix orde quan $x\to x_0$

Propietats

Context de les propietats

Sean $a,b\in ℝ$ i suponga's que $f$ és una funció definida sobre un interval finit o infinit $a\le x<b$ i és integrable sobre qualsevol interval $(a,b^{\prime })$ en $b^{\prime }<b$ podem escriure

$F(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}tx\in (a,b^{\prime })$

Siga $u_0,u_1,u_2,\dots$ una successió de números i siga

$U_{\nu }=u_0+u_1+\cdots +u_{\nu }(\nu =0,1,\dots )$

la mateixa notació serà utilisada per a atres lletres. Es tenen les següents propietats:

1. Suponga que $f(x)$, $g(x)$ estan definides en $a\le x<b$ i integrables sobre qualsevol $(a,b^{\prime })$, que $g(x)\ge 0$ i que $G(x)\to +\mathrm{\infty }$ quan $x\to b$. Si $f(x)=o(g(x))$ quan $x\to b$, llavors també es tindrà que $F(x)=o(G(x))$
2. Sean $\{u_{\nu }\},\{v_{\nu }\},$ dos successions de números, esta última positiva. Si $\{u_{\nu }\}=o\{v_{\nu }\},$ i $V_{\nu }\to +\mathrm{\infty }$, llavors $U_{\nu }=o(V_{\nu })$
3. Suponga que la série $\sum v_{\nu }$ convergix, que els $v$'s són positius, i que $u_{\nu }=o(v_{\nu })$. llavors$u_{\nu }+u_{\nu +1}+\cdots =o(v_{\nu }+v_{\nu +1}+\cdots )$
4. Siga $f(x)$ una funció positiva, monòtona i finita definida per a $x\ge 0$ i siga$F(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f\mathrm{d}t,F_n=f(0)+f(1)+\cdots +f(n).$Llavors
   $(i)$ si $f(x)$ decrementa, $F(n)-f_n$ tendix a un llímit finit
   $(ii)$ si $f(x)$ incrementa, $F(n)\le F_n\le F(n)-f(n{)}_n\to +\mathrm{\infty }$
5. Siga $f(x)$ positiva, finita i monòtona per a $x\ge 0$. Si es complix $(i)$ $f(x)$ incrementa i $F(x)\to \mathrm{\infty }$ o $(ii)$ $f(x)$ incrementa i $f(x)=o(F(x))$, llavors $F_n$ és asintóticamente igual a $F(n)$ $$

Vore també

• Cota superior asintòtica
• Cota inferior asintòtica
• Cota ajustada asintòtica

Bibliografia

• Trigonometric Séries, vol. 1, A. Zygmund.