Fòrmula de Euler-Maclaurin

Archiu:Colin Maclaurin color.jpg

Matemàtic Colin Maclaurin

En matemàtiques, la fòrmula de Euler-Maclaurin relaciona a integrals en séries. Esta fòrmula pot ser usada per a aproximar integrals per sumes finitas o, de forma inversa, per a evaluar séries (finitas o infinites) resolent integrals. La fòrmula va ser descoberta independentment per Leonhard Euler i Colin Maclaurin en 1735. Euler va usar esta fòrmula per a calcular valors de séries infinites en convergència llenta i Maclaurin la va utilisar per a calcular integrals.

La fòrmula

Si z és un número correlacional i $f(x)$ és una funció suau (suficientment derivable) definida $\mathrm{\forall }x\in [0,n]$, llavors, l'integral

$I=\underset{0}{\overset{n}{\int }}f(x)dx$

pot ser aproximada per la següent suma:

$S=\frac{f\left(0\right)}{2}+f\left(1\right)+\cdots +f(n-1)+\frac{f\left(n\right)}{2}=\frac{f\left(0\right)+f\left(n\right)}{2}+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(k\right)$

(vore regla del trapezi). La fòrmula de Euler-Maclaurin nos dona una expressió per a la diferència entre la suma i l'integral en funció de derivades de $f(x)$ en els extrems de l'interval d'integració (0 i n). Per a qualsevol sancer positiu p, tenim que es complix:

$S-I=\sum _{k=1}^p\frac{B_{k+1}}{(k+1)!}(f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0))+R$

a on $B_n$ són els números de Bernoulli i R és una estimació de l'error normalment menuda.

Realisant un canvi de variable en l'integral, es pot modificar esta fòrmula per a funcions $f(x)$ definides en atres intervals de la recta real.

El terme d'error

El terme d'error R és:

$R=(-1{)}^p\underset{0}{\overset{n}{\int }}{f}^{(p+1)}(x)\frac{B_{p+1}(x-\lfloor x\rfloor )}{(p+1)!}dx,$

a on $B_i(x-\lfloor x\rfloor )$ són els polinomis de Bernoulli periòdics. El terme d'error es pot acotar per:

$\left|R\right|\le \frac{2}{(2\pi {)}^{2p}}\underset{0}{\overset{n}{\int }}|f^{(p+1)}(x)|dx.$

Bibliografia

• Pierre Gaspard, "r-adic one-dimensional maps and the Euler summation formula", Journal of Physics A, 25 (letter) L483-L485 (1992). (Descriu les autofunciones del operador de transferència per al mapa de Bernoulli)
• Xavier Gourdon and Pascal Sebah, Introduction on Bernoulli's numbers, (2002)
• D.H. Lehmer, "On the Maxima and Minima of Bernoulli Polynomials", American Mathematical Monthly, volume 47, pages 533–538 (1940)