Funció error

Gràfica de la funció error

En matemàtiques, la funció error (també coneguda com a funció error de Gauss), normalment denotada per $\mathrm{erf}$, és una funció complexa d'una variable complexa definida com:

$\mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}{e}^{-t^2}dt$

Esta integral és una funció sigmoide (no elemental) que s'utilisa en el camp de la provabilitat, l'estadística i en equacions diferencials parcials. En moltes d'estes aplicacions, l'argument de la funció és un número real. Si l'argument de la funció és real llavors el valor de la funció també és real.

En estadística, per a valors no negatius de $x$, la funció error té la següent interpretació: per a una variable aleatòria $Y$ que seguix una distribució normal en mija 0 i varianza $1/2$, $\mathrm{erf}(x)$ és la provabilitat de que $Y$ caiga en l'interval $[-x,x]$.

Dos funcions relacionades són la funció error complementària, denotada per $\mathrm{erfc}$, definida com

$\text{erfc}(z)=1-\text{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{z}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t^2}dt$.

i la funció error imaginària, denotada per $\mathrm{erfi}$, definida com

$\text{erfi}(z)=-i\text{erf}(iz)$

a on $i$ és l'unitat imaginària.

El nom

El nom “funció error” i l'abreviatura $\mathrm{erf}$ varen ser propostes pel matemàtic anglés J. W. L. Glaisher en 1871 per la seua gran conexió en «la teoria de la provabilitat, i sobretot en la teoria del error». La funció error complementària va ser discutida per Glaisher en una publicació per separat en el mateix any, per la «llei de la facilitat» d'errors que la seua densitat està donada per

$f(x)={\left(\frac{c}{\pi }\right)}^{\frac{1}{2}}{e}^{-c{x}^2}$

(la distribució normal), Glaisher calcula la possibilitat de tindre un error entre $p$ i $q$ com

${\left(\frac{c}{\pi }\right)}^{\frac{1}{2}}\underset{p}{\overset{q}{\int }}{e}^{-c{x}^2}dx=\frac{1}{2}(\mathrm{erf}(q\sqrt{c})-\mathrm{erf}(p\sqrt{c}))\text{.}$

Funció d'error complexa

La funció d'error complexa es definix per mig de la següent expressió:

$\mathrm{\forall }z\in ℂ:\mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{z}{\int }}{e}^{-{\tau }^2}d\tau$

Esta funció és holomorfa en tot el pla complex, impar i desarrollable en série sancera. Per a $z$ real coincidix en la funció d'error real.

Esta funció, cridada w(x), (també coneguda com la funció de Faddeeva) admet la següent expressió:

$w(z)=e^{-z^3}\text{erfc}(-iz)$

La série de potències per a esta funció ve donada per:

$\mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{n!(2n+1)}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}(z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}-\frac{z^7}{42}+\frac{z^9}{216}-\cdots )$

$\mathrm{\forall }z\in ℂ$.

La série de potències per a la funció error imaginària ve donada per:

$\mathrm{erfi}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(z{)}^{2n+1}}{n!(2n+1)}=\frac{2}{\sqrt{\pi }}(z+\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}+\frac{z^7}{42}+\frac{z^9}{216}+\cdots )$

$\mathrm{\forall }z\in ℂ$.

Vore també

• Funció gaussiana
• Funció llogística
• Funció de distribució

Referències

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formules, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. (Capítul 7)