Funció sigmoide

Funció sigmoide

Gràfica d'una funció sigmoide.

Molts processos naturals i curves d'aprenentage de sistemes complexos mostren una progressió temporal des d'uns nivells baixos a l'inici, fins a acostar-se a un clímax transcorregut un cert temps; la transició es produïx en una regió caracterisada per una forta acceleració intermija. La funció sigmoide permet descriure esta evolució. La seua gràfica té una típica forma de «S». A sovint la funció sigmoide es referix al cas particular de la funció llogística, que la seua gràfica es mostra a la dreta i que ve definida per la següent fòrmula:

$P(t)=\frac{1}{1+e^{-t}}$

Un atre eixemple és la curva de Gompertz, usada en la modelización de sistemes que se saturen per a grans valors de t.

Propietats

Gràfica d'una funció sigmoide i la seua derivada.

En general, una funció sigmoide és una funció real de variable real diferenciable, de la forma general:

$y=\frac{1}{1+e^{-x}}$

Té també dos asíntotas horisontals:

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{1+e^{-x}}=0$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{1+e^{-x}}=1$.

en una primera derivada no-negativa:

$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}=\frac{e^{-x}}{(1+e^{-x}{)}^2}$

La funció sigmoide té una derivada simple:

$y^{\prime }=y(1-y)$

Té un punt d'inflexió.

$x=0$

És particularment útil, en especial en rets neuronals artificials

Eixemples

Funció llogística.

Ademés de la funció llogística, el grup de funcions sigmoides inclou l'arcotangente, la tangente hiperbòlica, la funció error, la funció de Gompertz, la funció llogística generalisada i funcions algebraiques com $f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$.

l'integral de qualsevol funció contínuament diferenciable, positiva, en forma «abombada», serà sigmoide. Per tant, la funció de distribució de les més comunes distribucions de provabilitat són sigmoides.

En química analítica, les curves de valoració àcit-base obedixen el comportament d'una funció sigmoide. En biologia, el creiximent de les poblacions de sers vius obedix el comportament d'una funció sigmoide.

Vore també

• Funció llogística
• Distribució llogística
• Regressió llogística
• Logit
• Funció hiperbòlica
• Distribució Weibull

Bibliografia

• Tom M. Mitchell, Machine Learning, WCB-McGraw-Hill, 1997, ISBN 0-07-042807-7. En particular vore "Chapter 4: Artificial Neural Networks" (p. 96-97) a on Mitchel usa la paraula "funció llogística" i "funció sigmoide" com a sinònims (a esta funció també la flama "la funció que s'esclafa" -"squashing function"-) i la funció sigmoide (també coneguda com a llogística) s'usa per a comprimir les eixides de les "neurones" en rets neuronals multicapa.