Funció contínuament diferenciable

En anàlisis matemàtic, una classe diferenciable és una classificació d'una funció d'acort a les propietats de les seues derivades. Classes diferencials d'orde superior corresponen a l'existència de més derivades. Funcions que tenen derivades de tots els órdens són cridades infinitament diferenciables, és dir que té derivades parcials de qualsevol orde.

• Una funció és de classe $C^1$ si les seues derivades parcials són contínues. Estes funcions es denominen contínuament diferenciables.
• Una funció és de classe $C^n$ en $n\ge 1$, si existixen totes les seues derivades parcials d'orde $n$ i són contínues. Estes funcions es denominen $n$ voltes contínuament diferenciables .
• Una funció és denominada infinitament diferenciable si és de classe $C^n$ per a tota $n$, o lo que és lo mateix, és de classe $C^{\mathrm{\infty }}$.

Gràfic d'una funció bulto contínuament diferenciable

Per eixemple, les funcions exponencials són evidentment funcions infinitament diferenciables perque les seues derivades són sempre derivables.

Classe diferenciable

Considere un conjunt obert en la recta real i una funció $f$ definida en eixe conjunt en valors reals. Siga $k$ un sancer no negatiu. La funció és de classe $C^k$ si les seues derivades $f^{\prime },f^{″},\dots ,f^{(k)}$ existixen i són contínues (la continuïtat és automàtica per a totes, llevat para l'última, $f^{(k)}$). La funció $f$ es diu que és de classe $C^0$ si és contínua. La funció $f$ es diu que és de classe $C^{\mathrm{\infty }}$, o funció suau, si existixen totes les derivades de tots els órdens. Per últim, $f$ és de classe $C^{\omega }$, o analítica , si $f$ és contínuament diferenciable i és igual a la série de Taylor expandida al voltant d'un punt en el seu domini.

Construcció de funcions segons especificacions

Usualment, és útil construir funcions contínuament diferenciables que prenen el valor zero anara d'un interval donat, pero no dins d'ell. Açò és possible; per una atra part, és impossible que una série de potències puga tindre eixa propietat. Açò prova que existix un gran bot entre funcions contínuament diferenciables i funcions analítiques; i que en general les funcions contínuament diferenciables no són necessàriament iguals a les seues séries de Taylor.

Per a donar una construcció explícita de dites funcions, podem començar en la següent funció

$f(x)=\{\begin{array}{cc}{e}^{-1/x^2}& \text{ si }x\ne 0\\ 0& \text{ si }x=0\end{array}$

No només es té que

$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0$

sino que també es té

$\underset{x\to 0}{\lim }P(1/x)f(x)=0$

per a qualsevol polinomi $P$; ya que el creiximent exponencial en exponent negatiu domina. Se seguix que totes les derivades de f(x) en zero, són iguals a zero:

$f^{(n)}(0)=0\text{ para cualquier }n$

la qual cosa significa que fixant f(x) = 0 per a x ≤ 0 genera una funció contínuament diferenciable. Combinacions tals com a f(x)f(1-x) poden ser fetes en qualsevol interval requerit com soport; en este cas l'interval [0,1]. Este tipo de funcions tenen un comportament extremadament llent prop de 0.

Vore també

• Anàlisis funcional