Anàlisis matemàtic

L'estudi del conjunt de Mandelbrot, que és un objecte fractal en autosimilitud estadística, involucra diverses àrees del anàlisis matemàtic: l'anàlisis de la convergència, la teoria de la mida, la geometria i la teoria de la provabilitat i l'estadística.

Conjunts Numèrics

El anàlisis matemàtic és una branca de la matemàtica que estudia els conjunts numèrics (els número real i els complexos) tant del punt de vista algebraic com a topològic, aixina com les funcions entre eixos conjunts i construccions derivades. S'escomença a desenrollar a partir de l'inici de la formulació rigorosa de llímit i estudia conceptes com la continuïtat, l'integració i la derivació de diversos tipos.

Una de les diferències entre l'àlgebra i l'anàlisis és que este últim recorre a construccions que involucren successions d'un número infinit d'elements, mentres que àlgebra usualment és finitista.

Història

Arquímedes va usar el método d'agotament per a calcular l'àrea dins d'un círcul en trobar l'àrea de polígons regulars en més i més costats. Est va ser un eixemple primerenc pero informal d'un llímit, un dels conceptes més bàsics en l'anàlisis matemàtic.

En l'Edat Antiga

Matemàtics grecs com Eudoxo de Cnidos i Arquímedes varen fer un us informal dels conceptes de llímit i convergència quan varen usar el método exhaustiu per a calcular l'àrea i volum de regions i sòlits. De fet, el número π va ser aproximat usant el método exhaustiu. En l'Índia de el XII el matemàtic Bhaskara va concebre elements del càlcul diferencial, aixina com el concepte de lo que ara coneixem com el teorema de Rolle.

Els primers resultats de l'anàlisis estaven implícitament presents en els primers dies de la matemàtica grega antiga. Per eixemple, una suma geomètrica infinita està implícita en la paradoxa de la dicotomia de Zenón. [4] Posteriorment, matemàtics grecs com Eudoxo i Arquímedes varen fer un us més explícit, pero informal, dels conceptes de llímits i convergència quan varen utilisar el Método exhaustiu per a calcular l'àrea i el volum de regions i sòlits.[5] L'us explícit d'infinitesimals apareix en El método de les teoremes mecàniques de Arquímedes, una obra redescubierta en el XX. [6] En Àsia, el matemàtic chinenc Liu Hui va utilisar el método d'agotament en el III per a trobar l'àrea d'un círcul. [7] De la lliteratura jainista, sembla que els hindús estaven en possessió de les fòrmules per a la suma de l'aritmètica i la geometria ya en el IV [8] Ācārya Bhadrabāhu usa la suma d'una suma d'una série geomètrica en la seua Kalpasūtra en 433 aC [9] En la matemàtica hindú, casos particulars de l'aritmètica i s'ha trobat que ocorren implícitament en la lliteratura védica des de l'any 2000 a. C.

En el XIV, el matemàtic indi Madhava va desenrollar idees fonamentals com l'expansió de séries infinites, les séries de potències, series de Taylor i l'aproximació racional de séries infinites. Ademés va desenrollar les séries de Taylor de funcions trigonométricas —sen, coseno, tangente— i va estimar la magnitut dels errors de càlcul truncant estes séries. També va desenrollar fraccions contínues infinites, integració terme a terme i la série de potències de pi. Els seus discípuls de l'Escola de Kerala varen continuar el seu treball fins a el XVI.

En Europa, en el sigle XVII, es varen establir els fonaments moderns de l'anàlisis matemàtic, en el que Newton i Leibniz inventen el càlcul. Ara sabem que Newton va desenrollar el càlcul infinitesimal uns dèu anys abans que Leibniz. Este últim ho va fer en 1675 i va publicar la seua obra en 1684, aproximadament vint anys ans que Newton es decidira a fer lo propi en els seus treballs. Newton havia comunicat la novetat solament a alguns pocs colegues seus i de res varen valdre les instigacions de Halley per a que Newton publicara els seus treballs més tempranament. Esta actitut va servir de base per a crear una desagradable controvèrsia pel padrinazgo de l'idea; discussió que podria haver segut evitada si un atre gran matemàtic, Fermat, no haguera tingut també l'inexplicable costum de no fer públics els seus treballs. En una carta de Fermat a Roberval, datada el 22 d'octubre de 1636, es troben clarament descrits tant la geometria analítica com l'anàlisis matemàtic. Descartes també va desenrollar la geometria analítica de manera independent. En dit sigle i en el XVIII, certs temes sobre l'anàlisis com el càlcul de variacions, les equacions diferencials i equacions en derivades parcials, l'anàlisis de Fourier i les funcions generadores varen ser desenrollades principalment per a un treball d'aplicació. Les tècniques del Càlcul varen ser aplicades en èxit en l'aproximació de problemes discrets per mig dels continus.

En l'Edat Mija

En el V, Zu Chongzhi va establir un método que més vesprada es cridaria Principi de Cavalieri per a trobar el volum d'una esfera.[10] El matemàtic indi Bhaskara II va donar eixemples de la derivada i va utilisar lo que ara es coneix com teorema de Rolle en el XII.[11].

En el XIV, Madhava de Sangamagrama va desenrollar expansions de séries infinites, com la série de potències i la série de Taylor, de funcions com el sen, el coseno, la tangente i la arcotangente[12] Junt en el seu desenroll de la série de Taylor de les funcions trigonométricas, també va estimar la magnitut dels térmens d'error creats en truncar estes séries i va donar una aproximació racional d'una série infinita. Els seus seguidors en l'Escola d'Astronomia i Matemàtiques de Kerala varen ampliar els seus treballs fins a el XVI.

En l'Edat Moderna

Aproximació d'una funció «ona quadrada» discontínua per mig d'una série de funcions trigonométricas contínues i diferenciables.

Fonaments

Els fonaments moderns de l'anàlisis matemàtic es varen establir en l'Europa de el XVII, quan Descartes i Fermat varen desenrollar de forma independent la geometria analítica, precursora del càlcul modern. El método d'adequació de Fermat li va permetre determinar els màxims i mínims de les funcions i les tangentes de les curves.[13] La publicació de La Géométrie de Descartes en 1637, que va introduir el sistema de coordenades cartesianas, es considera l'establiment de l'anàlisis matemàtic. Unes décades més vesprada, Newton i Leibniz varen desenrollar de forma independent el càlcul infinitesimal, que va créixer, en l'estímul del treball aplicat que va continuar a lo llarc del siglo XVIII, en temes d'anàlisis com el càlcul de variacions, les equacions diferencials ordinàries i parcials, l'anàlisis de Fourier i les funcions generadores. Durant este periodo, les tècniques de càlcul es varen aplicar per a aproximar els problemes discrets als continus.

Modernisació

A tot lo llarc de el XVIII la definició del concepte de funció va estar subjecta a debat entre els matemàtics. En el XIX, Cauchy va ser el primer que va establir el càlcul sobre uns ferms fonaments llògics per mig de l'us del concepte de successió de Cauchy. També va iniciar la teoria formal del anàlisis complex. Poisson, Liouville, Fourier i uns atres, varen estudiar equacions en derivades parcials i l'anàlisis harmònic.

A mitan de dit sigle, Riemann introduïx la seua teoria de l'integració. En l'últim terç de el XIX Weierstrass du a la aritmetización de l'anàlisis, ya que pensava que el raonament geomètric era enganyós per naturalea, i introduïx la definició ε - δ de llímit. Llavors els matemàtics varen escomençar a preguntar-se si no estarien assumint l'existència de cert continu de número real sense provar la seua existència. Dedekind llavors construïx els número real per mig de les cortaduras de Dedekind. Sobre la mateixa época, els intents de refinar les teoremes d'integració de Riemann varen dur cap a l'estudi del «tamany» dels conjunts de discontinuïtat de funcions reals.

També, funcions «mònstruos» (funcions contínues en ninguna parte, funcions contínues pero no diferenciables en cap punt, Curva que ompli l'espai, Curva de Peano) varen començar a sorgir. En este context, Jordan va desenrollar la seua teoria de medida, Cantor ho va fer en lo que ara es diu teoria de conjunts i Baire prova el teorema de la categoria de Baire. A principis de el XX, el càlcul es formalisa usant la teoria de conjunts. Lebesgue resol el problema de la mida i Hilbert introduïx els espais de Hilbert per a resoldre equacions integrals. L'idea d'espais vectorials normados va estar en ciernes i en els anys 1920 Banach crea l'anàlisis funcional

Conceptes importants

Espai mètric

Artícul principal → Espai mètric.

En matemàtiques, un espai mètric' és un conjunt en el que es definix una noció de distància (cridada mètrica) entre els elements del conjunt.

Gran part de l'anàlisis es realisa en algun espai mètric; els més utilisats són la recta real, el pla complex, l'espai euclidiano, uns atres espais vectorials i els sancers. Els eixemples d'anàlisis sense mètrica inclouen la teoria de la mida (que descriu el tamany en lloc de la distància) i l'anàlisis funcional, que estudia els espais vectorials topològics que no necessiten tindre cap sentit de la distància.

Formalment, un espai mètric és un parell ordenat $(M,d)$ a on $M$ és un conjunt i $d$ és una mètrica en $M$, és dir, una funció

$d:M\times M\to ℝ$

tal que per a qualsevol $x,y,z\in M$ es manté lo següent:

1. $d(x,y)=0$ si i solament si $x=y$    (Identitat dels indiscernibles),
2. $d(x,y)=d(y,x)$    (simetria), i
3. $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$    (Desigualtat triangular).

Prenent la tercera propietat i deixant $z=x$, es pot demostrar que $d(x,y)\ge 0$     (no-negatiu).

Seqüències i llímits

Artícul principal → Successió (matemàtica).

Una seqüència és una llista ordenada. Com un conjunt, conté membres (també cridats elements o térmens). A diferència d'un conjunt, l'orde importa i exactament els mateixos elements poden aparéixer vàries voltes en diferents posicions de la seqüència. Més precisament, una seqüència es pot definir com una funció el domini de la qual és un conjunt contable totalment ordenat, com els número natural.

Una de les propietats més importants d'una seqüència és la convergència. De manera informal, una seqüència convergix si té un llímit. Continuant de manera informal, una seqüència (infinita simple) té un llímit si s'acosta a algun punt x, cridat llímit, de n quan n es fa molt gran. És dir, per a una seqüència abstracta (a_n) (en n que va d'1 a infinit entés) la distància entre a_n i x s'acosta a 0 quan n → ∞ s'indica de la següent manera:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=x.$

Branques principals

Anàlisis real

Artícul principal → Anàlisis real.

L'anàlisis real (tradicionalment, la teoria de les funcions d'una variable real) és una branca de l'anàlisis matemàtic que s'ocupa dels número real i de les funcions de valor real d'una variable real. En particular, s'ocupa de les propietats analítiques de les funcions reals i de les seqüèncias, incloent el convergència i el llímits de les seqüències d'número real, el càlcul dels número real, i la continuïtat, la suavitat i les propietats relacionades de les funcions de valor real.

Anàlisis complex

Artícul principal → Anàlisis complex.

L'anàlisis complex, tradicionalment conegut com a teoria de les funcions d'una variable complexa, és la branca de l'anàlisis matemàtic que investiga funcions de número complejo. És útil en moltes branques de les matemàtiques, incloent la geometria algebraica, la teoria de números, la matemàtica aplicada; aixina com en la física, incloent la hidrodinàmica, la termodinàmica, l'ingenieria mecànica, l'ingenieria elèctrica, i particularment, la teoria quàntica de camps.

L'anàlisis complex s'ocupa especialment de les funcions analítiques de variables complexes (o, més generalment, de les funcions meromórficas). Degut a que les parts separades de real i imaginari de qualsevol funció analítica deuen satisfer l'equació de Laplace, l'anàlisis complex és àmpliament aplicable a problemes bidimensionales en física.

Anàlisis funcional

Artícul principal → Anàlisis funcional.

L'anàlisis funcional és una branca de l'anàlisis matemàtic, el núcleu del qual està format per l'estudi d'espais vectorials dotats d'algun tipo d'estructura relacionada en el llímit (per eixemple, producte interior, norma, topología, etc.) i les operadors llineals que actuen sobre estos espais i respecten estes estructures en un sentit adequat. Les raïls històriques de l'anàlisis funcional es troben en l'estudi del espais de funcions i en la formulació de les propietats de les transformacions de funcions com la transformació de Fourier com a transformacions que definixen operadors de contínua, unitari etc. entre espais de funcions. Este punt de vista va resultar ser particularment útil per a l'estudi de diferencials i equacions integrals.

Equacions diferencials

Artícul principal → Equacions diferencials.

Una equació diferencial és una matemàtica equació per a una funció desconeguda d'una o vàries variables que relaciona els valors de la pròpia funció i les seues derivadas de varis órdens. Les equacions diferencials eixerciten un paper destacat en ingenieria, física, economia, biologia i atres disciplines.

Les equacions diferencials sorgixen en moltes àrees de la ciència i la tecnologia, específicament quan es coneix o es postula una relació determinista que involucra algunes cantitats que varien contínuament (modelades per funcions) i les seues taxes de canvi en l'espai o el temps (expressades com derivades). Açò s'ilustra en la mecànica clàssica, a on el moviment d'un cos es descriu per la seua posició i velocitat en variar el valor del temps. Les Lleis de Newton permeten (donada la posició, la velocitat, l'acceleració i les diverses forces que actuen sobre el cos) expressar estes variables dinàmicament com una equació diferencial per a la posició desconeguda del cos en funció del temps. En alguns casos, esta equació diferencial (cridada equació de moviment) pot resoldre's explícitament.

Teoria de la mida

Artícul principal → Teoria de la mida.

Una mida sobre un conjunt és una forma sistemàtica d'assignar un número a cada subconjunt adequat d'eixe conjunt, interpretat intuitivamente com el seu tamany. En este sentit, una mida és una generalisació dels conceptes de llongitut, àrea i volum. Un eixemple particularment important és la mida de Lebesgue en un espai euclidiano, que assigna la llongitut convencional, l'àrea i el volum de la geometria euclidiana a subconjunts adequats de l'espai euclidiano $n$-dimensional ${ℝ}^n$. Per eixemple, la mida de Lebesgue del interval $[0,1]$ en la número real és la seua llongitut en el sentit quotidià de la paraula - concretament, 1.

Tècnicament, una mida és una funció que assigna un número real no negatiu o +∞ a (certs) subconjunts d'un conjunt $X$. Deu assignar 0 al conjunt buit i ser (contablemente) aditiu: la mida d'un subconjunt "gran" que pot descompondre's en un número finito (o contable) de subconjunts "més menuts" disjuntos, és la suma de les mides dels subconjunts "més menuts". En general, si es vol associar un tamany consistent a cada subconjunt d'un conjunt donat mentres se satisfan els demés axioma d'una mida, només es troben eixemples trivials com la mida de conteo. Este problema es va resoldre definint la mida només en una subcolección de tots els subconjunts; els cridats subconjunts mesurables, que es requerixen per a formar una $\sigma$. Açò significa que l'unió contable, l'intersecció contable i el complement de subconjunts mesurables són mesurables. Els conjunts no mesurabless en un espai euclidiano, sobre els que no es pot definir la mida de Lebesgue de forma consistent, són necessàriament complicats en el sentit d'estar mal mesclats en el seu complement. En efecte, la seua existència és una conseqüència no trivial del axioma d'elecció.

Anàlisis numèric

Artícul principal → Anàlisis numèric.

L'anàlisis numèric és l'estudi dels algoritmes que utilisen l'aproximació numèrica (a diferència de la manipulacions simbòliques general) per als problemes de l'anàlisis matemàtic (a diferència de la matemàtica discreta).

L'anàlisis numèric modern no busca respostes exactes, perque les respostes exactes són a sovint impossibles d'obtindre en la pràctica. En el seu lloc, gran part de l'anàlisis numèric s'ocupa d'obtindre solucions aproximades mantenint llímits raonables sobre els errors.

L'anàlisis numèric troba naturalment aplicacions en tots els camps de l'ingenieria i les ciències físiques, pero en el XXI, les ciències de la vida i inclús les arts han adoptat elements de càlcul científic. Les equacions diferencials ordinàries apareixen en la mecànica celest (planetes, estreles i galàxies); l'àlgebra llineal numèrica és important per a l'anàlisis de senyes; les equacions diferencials estocàstiques i les cadenes de Markov són essencials en la simulació de cèlules vives per a la medicina i la biologia.

Anàlisis vectorial

Artícul principal → Vector.

Anàlisis Tensorial

Artícul principal → Càlcul tensorial.

Subdivisions

S'ha discutit molt quantes i quines branques compondrien l'anàlisis, ya que a mida que la disciplina es desenrolla, diverses branques que prèviament eren independents acaben formant part d'un mateix cos i en ocasions semblen emergir branques independents. L'anàlisis matemàtic inclou els següents camps:

• Anàlisis real, açò és, l'estudi formalment rigorós de les derivades i integrals de les funcions real-valuadas, lo que inclou l'estudi de llímits i séries.
  • Equacions diferencials ordinàries i en derivades parcials.
  • Geometria diferencial, que estén els métodos de l'anàlisis real sobre espais euclídeos a espais topològics més generals.
  • Integració i teoria de la mida, que generalisa el concepte de càlcul integral i de mida.
  • Teoria de la provabilitat, que en gran mida compartix formalisme en la teoria de la mida, a partir de la axiomatisació de Kolmogórov.
  • Anàlisis numèric, encarregat de dissenyar algoritmes per a, a través de números i regles matemàtiques simples, simular processos matemàtics més complexos aplicats al món real.
  • Anàlisis no estàndar, que investiga certs números hiperreales i les seues funcions, i dona un tractament rigorós dels números infinitesimals i els infinitament grans.

• Anàlisis no real, que estén l'anàlisis real a cossos diferents dels número real.
  • Anàlisis complex, que estudia funcions que van del pla complex cap a sí mateix i que són complex-diferenciables, les funcions holomorfas.
  • Anàlisis p-ádico, l'anàlisis en el context dels números p-ádicos, que diferix de forma interessant i sorprenent del seu homòlec real i complex.
• Anàlisis funcional, que estudia espais i funcions i introduïx conceptes com els espais de Banach i espais de Hilbert.
  • Anàlisis harmònic, que tracta sobre les séries de Fourier i les seues abstracció i adició analítiques subarmónicas.
  • Geometria analítica, o geometria de les coordenades, que posa en correspondència a n-uplas en punts i conjunts de n-uplas en llocs geomètrics.
• Topología
  • Topología diferencial, que generalisa l'anàlisis real i complex de vàries variables a espais topològics més generals que ${ℝ}^n$ o ${ℂ}^n$.
  • Topología algebraica
  • Grups de Lie
• Atres àrees:
  • Geometria algebraica

Vore també

• Geometria diferencial
• Topología diferencial
• Càlcul fraccional
  • Càlcul fraccional de conjunts

Bibliografia

• Apostol, Tom M. (1960). Anàlisis matemàtic: Introducció moderna al càlcul superior, Reverté. ISBN 84-291-5000-5.
• Rei Pastor, Juliol (1985). Anàlisis matemàtic: Teoria d'equacions; càlcul infinitesimal d'una variable, Kapelusz. ISBN 950-13-3301-9.
• Gardner Bartle, Robert (1982). Introducció a l'anàlisis matemàtic, Limusa. ISBN 968-18-0997-1.

Stewart, James (2002). Càlcul Multivariable. Thomson Learning.

• Mathematics: Its Content, Methods, and Meaning, 2nd edició (vol. 1–3), The M.I.T. Press / American Mathematical Society. [1] (NB. 3 softcover volumes in slipcase. Original Russian title in March 1956: Математика, ее содержание, методы и значение [2][3][4]. First English edition in 6 volumes by AMS in 1962/1963, revised English edition in 3 volumes by MIT Press in August 1964: [5], 2nd printing by MIT Press in April 1965. First MIT paperback edition in March 1969. Reprinted in one volume by Dover.)

• Mathematical Analysis, 2nd edició, Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1.
• The foundations of analysis: a straightforward introduction, Cambridge University Press.
• Foundations of mathematical analysis, New York: M. Dekker.
• Analisi Matematica Due (en it), Liguori Editore. ISBN 978-88-207-2675-1.
• Éléments d'analyse réelle : CAPES et agrégation interne de mathématiques (en fr), EDP Sciences. ISBN 978-2-86883-681-6.
• Principles of Mathematical Analysis, 3rd edició, New York, USA: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8.
• Real and Complex Analysis, 3rd edició, New York, USA: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.
• (1927-01-02) A Course Of Modern Analysis: An Introduction to the General Theory of Infinite Processes and of Analytic Functions; with an Account of the Principal Transcendental Functions, 4th edició, at the University Press. ISBN 0-521-06794-4. (vaig vore+608 pages) (reprinted: 1935, 1940, 1946, 1950, 1952, 1958, 1962, 1963, 1992)
• «Real Analysis - Course Notes».

Enllaços externs

Archiu:Wikiquote-logo.svg Anàlisis matemàtic en Viquidites. Anàlisis matemàtic en Wikimedia Commons.

• Blog d'Anàlisis Matemàtic
• «Anàlisis matemàtic». CNICE. Archivat des d'el original, el 24 d'agost de 2007. Consultat el 4 de setembre de 2007.
• Sokolovsky, Silvia. «Matemàtica: Anàlisis Matemàtic - Àlgebra». Archivat des d'el original, el 12 d'agost de 2007. Consultat el 4 de setembre de 2007.

• Ing. Jorge J. L. Ferrante - edUTecNe - Guies d'Estudi. L'anàlisis matemàtic que nos varen ensenyar els nostres mestres. Departament de Ciències Bàsiques. Càtedra Anàlisis Matemàtic I. Consultat el 15 de maig de 2020.
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis
• Basic Analysis: Introduction to Real Analysis by Jiri Lebl (Creative Commons BY-NC-SA)
• Mathematical Analysis-Encyclopædia Britannica
• Calculus and Analysis