Equació diferencial

Visualisació de transferència de calor en una cambra d'una bomba, creada resolent l'equació de calor. La calor es genera internament en la cambra i es gela en les vores, donant un estat estacionario de distribució de temperatura.

Una equació diferencial és una equació matemàtica que relaciona una funció en les seues derivadas. En la matemàtica aplicada, les funcions usualment representen cantitats físiques, les derivades representen les seues raons de canvi i l'equació definix la relació entre elles. Com estes relacions són molt comunes, les equacions diferencials juguen un rol primordial en diverses disciplines, incloent l'ingenieria, la física, la química, l'economia i la biologia.

En les aplicacions de les matemàtiques, a sovint sorgixen problemes en els que es desconeix la dependència d'un paràmetro sobre un atre, pero és possible escriure una expressió per a la taxa de canvi d'un paràmetro en relació en un atre (derivada). En este cas, el problema es reduïx a trobar una funció per la seua derivada relacionada en algunes atres expressions.

En la matemàtica pura, les equacions diferencials s'estudien des de perspectives diferents, la majoria concernents al conjunt de les solucions de les funcions que satisfan l'equació. Solament les equacions diferencials més simples es poden resoldre per mig de fòrmules explícites; no obstant, es poden determinar algunes propietats de les solucions d'una certa equació diferencial sense trobar la seua forma exacta.

Si la solució exacta no pot trobar-se, esta pot obtindre's numèricament, per mig d'una aproximació usant computadoras o ordenadors. La teoria de sistemes dinàmics fa émfasis en l'anàlisis qualitatiu dels sistemes descrits per equacions diferencials, mentres que molts métodos numèrics han segut desenrollats per a determinar solucions en cert grau d'exactitut.

Història

Artícul principal → Història de les equacions diferencials.

Archiu:The method of fluxions and infinite series cover.jpg

Tapa del Método de les fluxiones i séries infinites, obra que va ser publicada en 1736, a pesar de que Newton l'havia terminat en 1671.

Les equacions diferencials varen aparéixer per primera volta en els treballs de càlcul de Newton i Leibniz. En 1671, en el Capítul 2 del seu treball Método de les fluxiones i séries infinites, Isaac Newton va fer una llista de tres classes d'equacions diferencials:

\frac{d y}{d x} = f (x)

\frac{d y}{d x} = f (x, y)

x_{1} \frac{\partial y}{\partial x_{1}} + x_{2} \frac{\partial y}{\partial x_{2}} = y

Va resoldre estes equacions i unes atres usant séries infinites i va discutir la no unicitat de les solucions.

Jakob Bernoulli va propondre l'equació diferencial de Bernoulli en 1695. Esta és una equació diferencial ordinària de la forma

y^{'} + P (x) y = Q (x) y^{n}

per a la que després, en els següents anys, Leibniz va obtindre les seues solucions per mig de simplificació.

Archiu:Standing waves on a string.gif

Ones estacionarias en una corda vibrant. S'observa el modo fonamental i els primers cinc sobretonos de la série harmònica.

Històricament, el problema d'una corda vibrant tal com la d'un instrument musical, va ser estudiat per Jean li Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, i Joseph-Louis Lagrange.

^[1] En 1746, d'Alembert va descobrir l'equació d'ona unidimensional, i a la veta de dèu anys Euler va descobrir l'equació d'ona tridimensional.

Les equacions de Euler-Lagrange varen ser desenrollades en la década de 1750 per Euler i Lagrange en relació en els seus estudis del problema de la tautócrona. Est és el problema de determinar una curva en la qual una partícula en pes caurà en un punt fix en certa cantitat fixa de temps, independent del punt de partida.

Lagrange va resoldre este problema en 1755 i va enviar la solució a Euler. Abdós varen desenrollar el método de Lagrange i ho varen aplicar a la mecànica, lo que els va conduir a la mecànica Lagrangiana.

En 1822 Fourier va publicar el seu treball de transferència de calor en Théorie analytique de la chaleur (Teoria analítica de la calor), en la que va basar el seu raonament en la llei del refredat de Newton, açò és, que la transferència de calor entre dos molècules adjacents és proporcional a diferències extremadament chicotetes de les seues temperatures. En este llibre Fourier expon l'equació de la calor per a la difusió conductiva de la calor. Esta equació en derivades parcials és actualment objecte d'estudi en la física matemàtica.

Les equacions diferencials estocàstiques, que amplien tant la teoria de les equacions diferencials com la teoria de la provabilitat, varen ser introduïdes en un tractament rigorós per Kiyoshi Itō i Ruslán Stratónovich durant els anys 1940 i 1950.

Tipos

Les equacions diferencials poden dividir-se en varis tipos. A banda de descriure les propietats de l'equació en sí, les classes de les equacions diferencials poden ajudar a buscar l'elecció de l'aproximació a una solució. És molt comú que estes distincions incloguen si l'equació és: ordinària/en derivades parcials, llineal/no llineal, i homogénea/no homogénea. Esta llista és massa gran; hi ha moltes atres propietats i subclasses d'equacions diferencials les quals poden ser molt útils en contexts específics.

Equacions diferencials ordinàries

Artícul principal → Equació diferencial ordinària.

Archiu:Parabolic trajectory.svg

La trayectòria d'un proyectil llançat des d'un canó seguix una curva definida per una equació diferencial ordinària que s'obté a partir de la segona llei de Newton.

Una equació diferencial ordinària (EDO) és una equació que conté una funció d'una variable independent i les seues derivades. L'adjectiu «ordinària» s'usa en contrast en l'equació en derivades parcials, la qual pot ser respecte a «més de» una variable independent.

Les equacions diferencials llineals, les quals tenen solucions que poden sumar-se i ser multiplicades per coeficients, estan ben definides i compreses, i tenen solucions exactes que poden trobar-se. En contrast, les EDO les solucions de les quals no poden sumar-se són no llineals, i la seua solució és més intrincada, i molt poques voltes poden trobar-se en forma exacta de funcions elementals: les solucions solen obtindre's en forma de séries o forma integral. Els métodos numèrics i gràfics per a EDO poden realisar-se manualment o per mig de computadores o ordenadors, es poden aproximar les solucions de les EDO i el seu resultat pot ser molt útil, moltes voltes suficients com per a prescindir de la solució exacta i analítica.

Equació en derivades parcials

Artícul principal → Equació en derivades parcials.

Archiu:Heat eqn.gif

Variació del perfil de temperatures solució de l'equació de la calor en un problema bidimensional.

Una equació en derivades parcials (EDP) és una equació diferencial que conté una funció multivariable i les seues derivades parcials. Estes equacions s'utilisen per a formular problemes que involucren funcions de vàries variables, i poden resoldre's manualment, per a crear una simulació per computadora.

Les EDP es poden usar per a descriure una àmplia varietat de fenomens tal com el sò, el calor, l'electroestática, l'electrodinàmica, la fluidodinámica, l'elasticitat, o la mecànica quàntica. Estos distints fenomens físics es poden formalisar en térmens de EDP. En equacions diferencials ordinàries és molt comuna realisar models unidimensionals de sistemes dinàmics, i les equacions diferencials parcials es poden utilisar per a models de sistemes multidimensionales. Les EDP tenen una generalisació en les equacions en derivades parcials estocàstiques.

Equacions diferencials llineals

Artícul principal → Equació diferencial llineal.

Una equació diferencial és llineal quan les seues solucions poden obtindre's a partir de combinacions llineals d'atres solucions. Si és llineal, l'equació diferencial té les seues derivades en màxima potència d'1 i no existixen térmens en a on hi haja productes entre la funció desconeguda i/o les seues derivades. La propietat característica de les equacions llineals és que les seues solucions tenen la forma d'un subespacio afí d'un espai de solucions apropiats, el resultat de les quals es desenrolla en la teoria d'equacions diferencials llineals.

Les equacions diferencials llineals homogénees són una subclasse de les equacions diferencials llineals per a la qual l'espai de solucions és un subespacio llineal, és dir, la suma de qualsevol conjunt de solucions o múltiples de solucions, és també una solució. Els coeficients de la funció desconeguda, i les seues derivades en una equació diferencial llineal poden ser funcions de la variable o variables independents, si estos coeficients són constants, llavors es parla de equacions diferencials llineals a coeficients constants.

Es diu que una equació és llineal si té la forma:

És dir:

Ni la funció ni les seues derivades estan elevades a cap potència distinta d'un o zero.
En cada coeficient que apareix multiplicant-les solament intervé la variable independent.
Una combinació llineal de les seues solucions és també solució de l'equació.

Eixemples:

$y^{'} - y = 0$ és una equació diferencial ordinària llineal de primer orde, té com a solucions $y = f (x) = k \cdot e^{x}$ , en k un número real qualsevol.
$y^{″} + y = 0$ és una equació diferencial ordinària llineal de segon orde, té com a solucions $y = f (x) = a \cos (x) + b sen (x)$ , en a i b reals.
$y^{″} - y = 0$ és una equació diferencial ordinària llineal de segon orde, té com a solucions $a \cdot e^{x} + b \cdot 1 / (e^{x})$ , en a i b reals.

Equacions diferencials no llineals

Existixen molt pocs métodos per a resoldre equacions diferencials no llineals en forma exacta; aquelles que es coneixen és molt comú que depenguen de l'equació tenint simetria particulars. Les equacions diferencials no llineals poden exhibir un comportament molt complicat en intervals grans de temps, característica del caos. Cada una de les qüestions fonamentals de l'existència, unicitat, i extendibilidad de les solucions per a equacions diferencials no llineals, i el problema ben definit dels problemes de condicions inicials i de contorn per a EDP no llineals són problemes difícils i la seua resolució en casos especials es considera que és un alvanç significatiu en la teoria matemàtica (per eixemple l'existència i suavitat de Navier-Stokes). No obstant, si l'equació diferencial és una representació d'un procés físic significatiu formulat correctament, llavors s'espera tindre una solució.

Les equacions diferencials no llineals solen aparéixer per mig d'aproximacions a equacions llineals. Estes aproximacions són vàlides únicament baixe condicions restringides. Per eixemple, l'equació de l'oscilador harmònic és una aproximació de l'equació no llineal d'una péndola que és vàlida per a chicotetes amplitut d'oscilació (vore més alvance).

Equacions semilineales i cuasilineales

No existix un procediment general per a resoldre equacions diferencials no llineals. No obstant, alguns casos particulars de no linealidad sí poden ser resolts. Són d'interés el cas semilineal i el cas cuasilineal.

Una equació diferencial ordinària d'orde n es diu cuasilineal si és «llineal» en la derivada d'orde n. Més específicament, si l'equació diferencial ordinària per a la funció $y (x)$ pot escriure's en la forma:

Es diu que dita equació és cuasilineal si $f_{1} (\cdot)$ és una funció afí, és dir, $f_{1} (z) = a z + b$ .

Una equació diferencial ordinària d'orde n es diu semilineal si pot escriure's com sumixca d'una funció «llineal» de la derivada d'orde n més una funció qualsevol del restant de derivades. Formalment, si l'equació diferencial ordinària per a la funció $y (x)$ pot escriure's en la forma:

Es diu que dita equació és semilineal si $f_{2} (\cdot)$ és una funció llineal.

Orde de l'equació

Les equacions diferencials es descriuen per la seua orde, determinat pel terme en derivades de major orde. Una equació que conté solament derivades simples és una equació diferencial de primer orde, una equació que conté fins a derivades segones és una equació diferencial de segon orde, i aixina successivament.^[2]^[3]

Eixemples d'orde en equacions: Equació diferencial de primer orde: $y^{'} + y (x) = f (x)$ Equació diferencial de segon orde: $y^{″} + 4 y = 0$ Equació diferencial de tercer orde: $x y^{‴} - 2 x y^{″} + 4 y^{'} = 0$ Equació de segon orde de coeficient variable: $y^{″} + 2 x y^{'} + 4 y = 0$

Grau de l'equació

És la potència de la derivada de major orde que apareix en l'equació, sempre i quan l'equació estiga en forma polinòmica, de no ser aixina es considera que no té grau.

Equacions diferencials exactes

A lo llarc d'esta secció, es trobaran equacions diferencials escrites com: $P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0$ i $y^{'} = - \frac{P (x, y)}{Q (x, y)}$ sense aplicar cap distinció entre la primera i segona equació.

Se supondrà que P i Q són funcions definides en un rectàngul obert $R$ en $ℝ^{2}$ no nules al mateix temps.

Es diu que l'equació és diferencial exacta si existix una funció R $\to$ $ℝ$ derivable tal que $F_{x} (x, y) = P (x, y)$ i $F_{y} (x, y) = Q (x, y)$ $\forall (x, y) \in R$

L'importància de l'exactitut residix que $F (x, y) = c$ és una família de curves integrals deduint-se derivant implícitament respecte a x: $F_{x} + F_{y} y^{'} = 0$ , per tant, $F (x, y) = c$ satisfà $y^{'} = - \frac{P (x, y)}{Q (x, y)}$ .

Un criteri que pot amprar-se per a saber en exactitut quan una equació és diferencial exacta és partint que P i Q són funcions contínues i tenen derivades parcials primeres contínues en R. Si l'equació $P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0$ és diferencial exacta, llavors, es demostra que $P_{y} = Q_{x}$ en R.

Suponent que $P_{y} = Q_{x}$ en R i busquem F tal que $F_{x} =$ P i $F_{y} = Q$ . Integrant l'equació $F_{x} =$ P respecte a x: $F (x, y) = \int P (x, y) d x + C (y)$ a on C(i) és la constant d'integració depenent d'i.

Imponent la condició $F_{y} = Q$ s'obté: $C^{'} (y) = Q (x, y) - \frac{\partial}{\partial y} \int P (x, y) d x$ a on, aplicant $P_{y} = Q_{x}$ , la part dreta de l'igualtat és una funció de la variable i independent de x.

Finalment:

D'esta manera s'ha obtingut un método despuix de calcular les curves integrals d'una equació diferencial exacta $F (x, y) = c$ demostrant la teorema enunciada anteriorment.

Eixemples

En el primer grup d'eixemples, siga o una funció desconeguda que depén de x, i c i ω són constants conegudes. Observar que tant les equacions diferencials ordinàries com a parcials poden classificar-se com a llineals i no llineals.

Equació diferencial ordinària llineal a coeficients constants de primer orde:

\frac{d u}{d x} = c u + x^{2} .

Equació diferencial ordinària llineal homogénea de segon orde:

\frac{d^{2} u}{d x^{2}} - x \frac{d u}{d x} + u = 0.

La massa penjada del resort forma un oscilador harmònic, una equació diferencial permet expressar les relacions que deu obedir el moviment de la massa.

Una solució està donada per $y = f (x) = A X$

Equació diferencial ordinària llineal a coeficients constants homogénea de segon orde que descriu un oscilador harmònic:

\frac{d^{2} u}{d x^{2}} + ω^{2} u = 0.

Equació diferencial ordinària no llineal inhomogénea de primer orde:

\frac{d u}{d x} = u^{2} + 4.

Equació diferencial ordinària no llineal (per la funció sen) de segon orde, que descriu el moviment d'un péndola de llongitut L:

L \frac{d^{2} u}{d x^{2}} + g sen u = 0.

En el següent grup d'eixemples, la funció desconeguda o depén de dos variables x i t o x i i.

Equació en derivades parcials llineal homogénea de primer orde, llavors:

\frac{\partial u}{\partial t} + t \frac{\partial u}{\partial x} = 0.

Archiu:Laplace's equation on an annulus.jpg

Equació de Laplace sobre una corona (r=2 i R=4) en condicions de contorn de Dirichlet: o(r=2)=0 i o(r=4)=4sen(5*θ).

Equació en derivades parcials llineal homogénea a coeficients constants de segon orde del tipo elíptic, l'equació de Laplace:

\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0.

Equació en derivades parcials no llineal de tercer orde, l'equació de Korteweg-de Vries:

\frac{\partial u}{\partial t} = 6 u \frac{\partial u}{\partial x} - \frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}} .

Eixemple d'equació diferencial exacta

Siga l'equació diferencial de primer orde $P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0$ $\forall (x, y) \in B$ a on P i Q són dos funcions contínues en l'obert $B \subset ℝ^{2}$ .

Es diu que l'equació $P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0$ és una equació diferencial exacta si existix una funció potencial $F (x, y)$ definida en B tal que:

Siga ademés $P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0$ una equació diferencial exacta $\forall (x, y) \in B \subset ℝ^{2}$ obert i $F (x, y)$ una funció potencial d'esta, llavors, tota solució $y = ϕ (x)$ de l'equació que el seu grafo estiga en B satisfà l'equació

Solució d'una equació diferencial

Existència de solucions

1° Pas: La resolució d'equacions diferencials no és com aquelles resolucions de les equacions algebraiques. ya que a pesar de que en ocasions les seues solucions són poc clares, també pot ser d'interés si estes són úniques o existixen.

Per a problemes de primer orde en valors inicials, el teorema d'existència de Peano nos dona un conjunt de condicions en el qual la solució existix. Per a qualsevol punt donat $(a, b)$ en el pla xy, i definida una regió rectangular $Z$ , tal que $Z = [l, m] \times [n, p]$ i $(a, b)$ està en l'interior de $Z$ . Si tenim una equació diferencial $\frac{d y}{d x} = g (x, y)$ i la condició que $y = b$ quan $x = a$ , llavors hi ha una solució local a este problema si $g (x, y)$ i $\frac{\partial g}{\partial x}$ són abdós contínues en $Z$ . La solució existix en algun interval en el seu centre en $a$ . La solució pot no ser única. (Vore Equació diferencial ordinària per a atres resultats.)

No obstant, açò solament nos ajuda en problemes de primer orde en condicions inicials. Supongam que tenim un problema llineal en condicions inicials d'orde enèsim:

f_{n} (x) \frac{d^{n} y}{d x^{n}} + \dots + f_{1} (x) \frac{d y}{d x} + f_{0} (x) y = g (x)

tal que

y (x_{0}) = y_{0}, y^{'} (x_{0}) = y'_{0}, y^{″} (x_{0}) = y^{'}'_{0}, \dots

Per a qualsevol $f_{n} (x)$ no nul, si ${f_{0}, f_{1}, \dots}$ i $g$ són continus sobre algun interval contenint $x_{0}$ , $y$ és únic i existix.^[4]

Tipos de solucions

Una solució d'una equació diferencial és una funció que en reemplaçar a la funció incògnita, en cada cas en les derivació corresponents, verifica l'equació, és dir, la convertix en una identitat. Hi ha tres tipos de solucions:

Solució general

La solució general és una solució de tipo genèric, expressada en una o més constants. És un fes de curves. Té un orde de infinitud d'acort a la seua cantitat de constants (una constant correspon a una família simplement infinita, dos constants a una família doblement infinita, etc). En cas que l'equació siga llineal, la solució general es conseguix com a combinació llineal de les solucions (tantes com l'orde de l'equació) de l'equació homogénea (que resulta de fer el terme no depenent de $y (x)$ ni de les seues derivades igual a 0) més una solució particular de l'equació completa

Solució particular

Si fixant qualsevol punt $P (X_{0}, Y_{0})$ per a on deu passar necessàriament la solució de l'equació diferencial, existix un únic valor de C, i per lo tant de la curva integral que satisfà l'equació, est rebrà el nom de solució particular de l'equació en el punt $P (X_{0}, Y_{0})$ , que rep el nom de condició inicial.

És un cas particular de la solució general, en a on la constant (o constants) rep un valor específic.

Solució singular

La solució singular és una funció que verifica l'equació, pero que no s'obté particularizando la solució general. És solució de l'equació no consistent en una particular de la general, en atres paraules, esta solució no pertany a la solució general pero aixina i tot verifica l'equació diferencial.

Observacions sobre les solucions

Siga l'equació diferencial ordinària d'orde n $f (y^{(n)}, y^{(n - 1)}, \dots, y^{″}, y^{'}, y, x) = 0$ , és fàcil verificar que la funció i= f(x) és la seua solució. Basta calcular les seues derivades de f(x), després reemplaçar-les en l'equació , junt en f(x) i provar que s'obté una identitat en x.

Les solucions de E.D.O. es presenten en forma de funcions implícitament definides, i a voltes impossibles d'expressar de manera explícita. Per eixemple

$x y = \ln y + c$ , que és solució de: $\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{1 - x y}$

La forma més simple de totes les equacions diferencials és $d y / d x = f (x)$ la solució de les quals és $y = \int f (x) d x + c$ En alguns casos és possible resoldre-la per métodos elementals del càlcul. No obstant, en atres casos, la solució analítica requerix tècniques de variable complexa o més sofisticades com succeïx en les integrals:

no pot estructurara per mig d'un número finito de funcions elementals.

Aplicacions

L'estudi d'equacions diferencials és un camp extens en matemàtiques pura i aplicada, en física i en l'ingenieria. Totes estes disciplines s'interessen en les propietats d'equacions diferencials de varis tipos. La matemàtica pura es focaliza en l'existència i unicitat de les solucions, mentres que la matemàtica aplicada emfatisa la justificació rigorosa dels métodos d'aproximació de les solucions. Les equacions diferencials juguen un rol molt important en la modelació virtual de qualsevol procés físic, tècnic, o biològic, per eixemple, tant el moviment celest, com el disseny d'un pont, o l'interacció entre neurones. Les equacions diferencials que es plantegen per a resoldre problemes de la vida real, no necessàriament són resolubles directament, és dir, les seues solucions no tenen una expressió en forma tancada. Quan succeïx açò, les solucions es poden aproximar usant métodos numèrics.

Moltes lleis de la física i la química es formalisen en equacions diferencials. En biologia i economia, les equacions diferencials s'utilisen per al modelació del comportament de sistemes complexos. La teoria matemàtica de les equacions diferencials es va desenrollar inicialment en les ciències a on les equacions s'originaven i a on es trobaven resultats per a les aplicacions. No obstant, algunes voltes s'originaven problemes diversos en camps científics distints, dels quals resultaven equacions diferencials idèntiques. Açò succeïa perque, darrere de la teoria matemàtica de les equacions, pot vore's un principi unificat darrere dels fenomens. Com per eixemple, si es considera la propagació de la llum i el sò en l'atmòsfera, i de les ones sobre la superfície d'un estany. Tots estos fenomens poden descriure's en la mateixa equació en derivades parcials de segon orde, l'equació d'ona, la qual nos permet pensar a la llum i al sò com a formes d'ona, i en forma similar a les ones en l'aigua. La conducció de calor, la teoria que va ser desenrollada per Joseph Fourier, està governada per una atra equació en derivades parcials de segon orde, l'equació de calor. Resulta que molts processos de difusió, encara que aparenten ser diferents, estan descrits per la mateixa equació. L'equació de Black-Scholes en les finances, està per eixemple, relacionada en l'equació de la calor.

Física

Un eixemple de solució per a les equacions en un atractor de Lorenz per al cas ρ = 28, σ = 10, i β = 8/3.

Equacions de Euler-Lagrange en mecànica clàssica
Equacions d'Hamilton en mecànica clàssica
Radiactivitat en física nuclear
Llei de refredat de Newton en termodinàmica
Equació d'ona
Equació de calor en termodinàmica
Equació de Laplace, que definix les funcions harmòniques
Equació de Poisson
Equació geodèsica
Equacions de Navier-Stokes en fluidodinámica
Equació de difusió en processos estocàstics
Equació de convecció-difusió en fluidodinámica
Equacions de Cauchy-Riemann en anàlisis complex
Equació de Poisson-Boltzmann en dinàmica molecular
Equacions de Saint-Venant
Equació diferencial universal
Equacions de Lorenz les solucions de les quals exhibixen un fluix caòtic.

Mecànica clàssica

Vore també: Lleis de Newton

Sempre que es conega la força actuante sobre una partícula, la Segona llei de Newton és suficient per a descriure el moviment d'una partícula. Una volta que estan disponibles les relacions independents per a cada força que actua sobre una partícula, es poden substituir en la segona llei de Newton per a obtindre una equació diferencial ordinària, la qual es denomina equació de moviment.

Electrodinàmica

Vore també: Electrodinàmica

Les equacions de Maxwell són un conjunt d'equacions en derivades parcials que, junt en la llei de la força de Lorentz , formen els fonaments de l'electrodinàmica clàssica, òptica clàssica, i la teoria dels circuits elèctrics. Estos camps es varen tornar fonamentals en les tecnologies elèctriques, electròniques i de comunicacions. Les equacions de Maxwell descriuen cóm els camps elèctric i magnètic es generen alterant un i un atre per càrregues i corrents elèctriques. Estes equacions deuen el seu nom al físicomatemático escocés James Clerk Maxwell, qui va publicar els seus treballs sobre estes equacions entre 1861 i 1862.

Relativitat general

Vore també: Relativitat general

Archiu:Gravitation space source.png

Representació de la curvatura donada per l'equació de camp d'Einstein sobre el pla de l'eclíptica d'una estrela esfèrica: Dita equació relaciona la presència de matèria en la curvatura adquirida pel espai-temps.

Les equacions de camp d'Einstein (conegudes també com "equacions d'Einstein") són un conjunt de dèu equacions en derivades parcials de la teoria de la relativitat general a on es descriu l'interacció fonamental de la gravitació com un resultat de que l'espai-temps és curvat per la matèria i l'energia. Publicat per primera volta per Einstein en 1915^[5] com una equació tensorial, les equacions equiparen una curvatura espai-temps local (expressada pel tensor d'Einstein) en l'energia i momentum local dins de l'espai-temps (expressat pel tensor d'energia-impulse).

Mecànica quàntica

En la mecànica quàntica, l'anàlec a la llei de Newton és l'Equació de Schrödinger (una equació en derivades parcials) per a un sistema quantificat (usualment àtoms, molècules, i partícules subatòmiques que poden estar lliures, lligades, o localisades). No és una equació algebraica simple, pero és, en general, una equació en derivades parcials i llineal, que descriu l'evolució en el temps d'una funció d'ona (també cridada una "funció d'estat").

Biologia

Equació de Verhulst – per al creiximent de població biològica.

Model de von Bertalanffy – per al creiximent individual biològic.
Dinàmica de replicació – en teoria biològica.
Model de Hodgkin i Huxley – potencials d'acció neuronal.

Equacions predador-assut

Les equacions de Lotka-Volterra, també conegudes com les equacions predador-assut, són un parell d'equacions diferencials no llineals de primer orde freqüentment utilisades per a descriure la dinàmica de sistemes biològics en els quals interactuen dos espècies, una el predador, i l'atra, l'assut.

Creiximent de poblacions

Entorn a el XVIII es volia conéixer el modo en que la població variava per a predir possibles canvis. És per això que l'economiste T. Malthus propon lo següent:

Els naiximent i les morts, en un interval de temps menut, són proporcionals al tamany de la població i a l'interval de temps.

S'impon que $nacimientos = α Δ t N (t)$ i $muertes = β Δ t N (t)$ en $N (t) =$ tamany de la població en el temps t.

La variació de la població en un interval de temps $Δ t$ és $Δ N (t) = γ N (t) Δ t$ en $γ = α - β$ .

Amprant el llímit quan $Δ t \to 0$ s'obté el model matemàtic: $\frac{d N}{d t} = γ N$

En resoldre l'equació anterior de variables separades, considerant que en $t = 0$ el tamany de la població és $N_{0}$ , s'obté que la població en l'instant t està donada per $N (t) = N_{0} e^{γ t}$ . Esta equivalència informa que, si $γ < 0$ la població es va extinguint-se, si $γ = 0$ la població es manté constant i si $γ > 0$ la població creix exponencialment.

Els valors $N_{0}$ i $γ$ es calculen per a cada població prenent dos mides en dos instants de temps distints. És important observar que un chicotet error en el reconte de les senyes nos du a distints valors de les constants $γ$ o $N_{0}$ que poden ser significatius i canviar de forma considerable els resultats del model per a temps grans.

Prenent un eixemple real. per a la població en USA s'obté:


Any	Població USA
1790	$N (t) = 3.9 \times 1 0^{6} e^{0.307 t}$
1800	$N (t) = 5.3 \times 1 0^{6} e^{0.307 t}$
1810	$N (t) = 7.2 \times 1 0^{6} e^{0.307 t}$
1820	$N (t) = 9.6 \times 1 0^{6} e^{0.307 t}$
1830	$N (t) = 12.9 \times 1 0^{6} e^{0.307 t}$
1840	$N (t) = 17.1 \times 1 0^{6} e^{0.307 t}$
1850	$N (t) = 23.2 \times 1 0^{6} e^{0.307 t}$
1860	$N (t) = 31.4 \times 1 0^{6} e^{0.307 t}$
1870	$N (t) = 38.6 \times 1 0^{6} e^{0.307 t}$
1880	$N (t) = 50.2 \times 1 0^{6} e^{0.307 t}$
1890	$N (t) = 62.9 \times 1 0^{6} e^{0.307 t}$
1900	$N (t) = 76 \times 1 0^{6} e^{0.307 t}$
1910	$N (t) = 92 \times 1 0^{6} e^{0.307 t}$
1920	$N (t) = 106.5 \times 1 0^{6} e^{0.307 t}$
1930	$N (t) = 123.2 \times 1 0^{6} e^{0.307 t}$

$N (t) =$ Verhulst propon unes modificacions al model de Malthus:

La població no pot créixer ilimitadamente sino que tendix a estabilisar-se en un llímit $N_{\infty}$ i la variació de població és proporcional a la població N i al factor $1 - \frac{N}{N_{\infty}}$ .

Per tant, el model matemàtic tendix a ser: $\frac{d N}{d t} = γ N (1 - \frac{N}{N_{\infty}})$ i, despuix de realisar una integració d'este model, s'obté el tamany de la població el qual és:

Per a la població de USA es calculen de forma aproximada els valors de Verhulst:

$N (t) = 3.9 \times 1 0^{6} e^{0.307 t}$ , $N_{\infty} = 197 \times 1 0^{6}$ i $γ = 0.3134$ .

Despuix de comparar els valors obtinguts en el model de Verhulst en la població real s'aprecia que esta supera llaugerament a la cantitat predita pel model i, per tant, existixca la possibilitat de tindre que realisar alguna modificació en dit model per a poder predir adequadament el tamany de la població per a temps futurs.

Software

ExpressionsinBar:^[6] desolve(i'=ki,i)
Maple:^[7] dsolve

SageMath:^[8] desolve()
Xcas:^[9] desolve(i'=ki,i)

Vore també

Referències

↑ Per les contribucions de Lagrange a les equacions d'ones acústiques, consultar
↑ MathWorld.
↑ «Order and degree of a differential equation» (en anglés). Archivat des d'el original, el 1 d'abril de 2016. Consultat el 4 d'abril de 2016.
↑ (2001) A First Course in Differential Equations, 5ª edició (en anglés), Brooks/Cole. ISBN 0-534-37388-7.
↑ Traducció a l'anglés: The Field Equations of Gravitation (Wikisource)
↑ «ExpressionsinBar». www.alelvisoftware.com. Consultat el 17 de maig de 2020.
↑ «dsolve - Maple Programming Help». www.maplesoft.com. Consultat el 12 de maig de 2020.
↑ «Basic Algebra and Calculus — Sage Tutorial v9.0». doc.sagemath.org. Consultat el 17 de maig de 2020.
↑ «Symbolic algebra and Mathematics with Xcas».

Bibliografia

Plantilla:GSM

Enllaços externs

Commons

Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Equació diferencial.
Solucions exactes d'Equacions Diferencials Ordinàries
Solucions exactes d'Equacions Diferencials Llineals en derivades parcials
Programa per a resoldre Equacions diferencials ordinàries escrit en Matlab

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Ecuación diferencial» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Per les contribucions de Lagrange a les equacions d'ones acústiques, consultar

[2] MathWorld.

[3] «Order and degree of a differential equation» (en anglés). Archivat des d'el original, el 1 d'abril de 2016. Consultat el 4 d'abril de 2016.

[4] (2001) A First Course in Differential Equations, 5ª edició (en anglés), Brooks/Cole. ISBN 0-534-37388-7.

[Ein1915-5] Traducció a l'anglés: The Field Equations of Gravitation (Wikisource)

[6] «ExpressionsinBar». www.alelvisoftware.com. Consultat el 17 de maig de 2020.

[7] «dsolve - Maple Programming Help». www.maplesoft.com. Consultat el 12 de maig de 2020.

[8] «Basic Algebra and Calculus — Sage Tutorial v9.0». doc.sagemath.org. Consultat el 17 de maig de 2020.

[9] «Symbolic algebra and Mathematics with Xcas».

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]