Sistema d'equacions diferencials

Un sistema d'equacions diferencials és un conjunt de vàries equacions diferencials en vàries funcions incògnites i un conjunt de condicions de contorn. Una solució del mateix és un conjunt de funcions diferenciables que satisfan totes i cada una de les equacions del sistema. Segons el tipo d'equacions diferencials pot tindre's un sistema d'equacions diferencials ordinàries o un sistema d'equacions en derivades parcials.

Sistemes d'equacions diferencials ordinàries

En un sistema d'equacions diferencials ordinàries de qualsevol orde, pot ser reduït a un sistema equivalent de primer orde, si s'introduïxen noves variables i equacions. Per eixa raó en este artícul només es consideren sistemes d'equacions de primer orde. Un sistema d'equacions diferencials ordinàries de primer orde escrit en forma explícita és un sistema d'equacions de la forma:

Reducció a un sistema de primer orde

Donat un sistema d'equacions diferencials d'orde n en m equacions:

Existix un sistema equivalent de primer orde en com a molt (n+1) x m equacions. Per a vore açò considerem un sistema en el que intervenen m funciones incògnites x_i i les seues n derivades, i introduïm un nou conjunt de variables i_i,k definides de la següent manera:

El sistema de primer orde equivalent en les variables i_i,k resulta ser:

Com a eixemple de reducció d'un sistema d'equacions diferencials podem considerar les equacions de moviment de la mecànica newtoniana d'una partícula que és un sistema de segon orde en tres equacions:

Si s'introduïxen tres funcions incògnita noves que representen la velocitat, el sistema anterior es pot reduir a un sistema de primer orde i sis equacions:

Existència i unicitat de la solució

Un sistema d'equacions diferencials general té la forma

a on:

f (t) \in ℝ^{n}

és una funció vectorial.

A (t) \in ℒ (ℝ^{n}, ℝ^{n})

és una funció matricial.

Aplicant el Teorema de Picard-Lindelöf als sistemes d'equacions diferencials ordinàries de la forma (*), s'establix l'existència i unicitat de la solució de dit sistema en les que tant la matriu $A (t)$ com la funció $f (t)$ siguen contínues en un interval compacte $[t_{1}, t_{2}]$ .

La demostració es basa en el fet de que la funció $F (t, X) = A (t) X + f (t)$ és Lipschitz respecte a $X$ , per a tot $X \in ℝ^{n}$ si $t \in [t_{1}, t_{2}]$ . A partir del resultat de la teorema es pot concloure que la successió de Picard

$X_{k + 1} = X_{0} + \int_{t_{0}}^{t} (A (s) X_{k} (s) + f (s)) d s$

convergix a la solució.

Sistemes llineals d'equacions diferencials ordinàries

Un sistema llineal d'equacions diferencials en coeficients constants és un sistema de la forma:Que de forma abreviada denotarem com:

$X^{'} (t) = A (t) \cdot X (t) + \vec{b (t)}$

Quan el sistema anterior verifica que $\vec{b (t)} = 0$ diem que el sistema anterior és homogéneu, en cas contrari direm que és no homogéneu.

Cridem sistema fonamental d'equacions al conjunt de $n$ solucions independents del sistema homogéneu. (Observe's que dites solucions són vectores).

La matriu que les columnes de la qual representen cada una de les solucions anteriors rep el nom de matriu fonamental $ϕ (t)$ i verifica que $ϕ (t)^{'} = A \cdot ϕ (t)$ .

Si donada una matriu fonamental existix un $t$ tal que la matriu resultant és l'identitat direm que dita matriu és la matriu principal en $t$ .

La resolució d'estos sistemes és molt diversa. No obstant, la resolució de sistemes d'equacions diferencials se simplifica molt si les equacions són de coeficients constants, o lo que és lo mateix, un sistema autònom.

Referències

Bibliografia

(2006) Equacions diferencials en aplicacions, 2ª edició, Grup Editorial Iberoamèrica.

(2008) Apuntes d'equacions diferencials I, Universitat Complutense de Madrit.

Picard’s existence and uniqueness theorem.

Vore també

Este artícul conté una traducció derivada de «Sistema de ecuaciones diferenciales» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.