Equacions diferencials autònomes

En matemàtiques, una equació diferencial autònoma és una equació diferencial que no depén explícitament de la variable independent.

Definició

Una equació autònoma d'orde $n$ és una equació diferencial ordinària de la forma:$$x^n(t)=f(x(t),x^{\prime }(t),x^{\prime \prime }(t),\mathrm{...},x^{n-1}(t)),$$a on $x(t)$ pren valors en un Espai euclídeo. Són casos particulars d'equacions diferencials ordinàries d'orde $n$ en els que la funció no depén explícitament del paràmetro $t$ (que habitualment s'interpreta com a temps). En particular, una equació autònoma d'orde 1 és de la forma$$\frac{d}{dt}x(t)=f(x(t)).$$Un punt $a\in ℝ$ es diu punt crític de l'equació diferencial si complix $f(a)=0$.

Propietats de les solucions

Invarianza per translacions

Si $x(t)$ és solució de l'equació diferencial, llavors tota translació seua també ho és.

Monotonia de les solucions no constants

Si l'equació $x^{\prime }(t)=f(x(t))$ té solució única per a tota senya inicial i $f$ és una funció contínua, llavors tota solució no constant és estrictament monòtona. Plantilla:Demostració

Referències

V.I. Arnold "Equacions Diferencials Ordinàries”

L. Perko. “Differential Equations and Dynamical Systems"

Wikipedia contributors. (2022, March 21). Autonomous system (mathematics). In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 09:19, May 3, 2022