Equació diferencial ordinària

En matemàtiques, una equació diferencial ordinària (comunament escrita en la sigla EDO) és l'equació diferencial que relaciona una funció desconeguda de una variable independent en les seues derivades. És dir, una sola variable independent (a diferència de les equacions diferencials parcials que involucren derivades parcials de vàries variables), i una o més de les seues derivadas respecte de tal variable.

Introducció

Recursos de la física, l'ingenieria, l'economia, la meteorologia, la biologia, la química i en aplicacions com les de modelació en ciències, li les estudia en diverses àrees (com geometria, mecànica i astronomia) i perspectives. Matemàticament, és de convenient interés, l'obtenció d'una família de funcions que verifiquen una equació i establixen la solució general. Solament les equacions diferencials més senzilles admeten solucions donades per fòrmules explícites (com les equació diferenciallineallineals associades a una teoria desenrollada pràcticament per complet). No obstant, poden determinar-se algunes propietats de les solucions d'una equació diferencial sense requerir-se la seua formulació exacta, clau per a resoldre la majoria de les equacions diferencials no llineals de sum interés en numerosos casos. Casos carents d'una fòrmula auto-continguda per a la seua solució que se suplix en l'aproximada numèricament en l'auxili crucial de les computadores. La matemàtica «pura» centra el foc «formal» en la solució, la seua existència i si és o no única. La «aplicada» controla la validea dels métodos per a la solució numèricament aproximada i el rigor de les justificacions en que li'ls sustenta. La teoria dels sistemes dinàmics priorisa l'anàlisis qualitatiu de sistemes descrits per equacions diferencials mentres s'han vingut sumant numerosos métodos numèrics per a determinar solucions en un grau donat de precisió. En ingenieria, ciències naturals i socials hi ha molts problemes d'interés que, quan es plantegen, exigixen la determinació d'una funció la qual deu verificar una equació que involucra derivades de la funció desconeguda. Dites equacions es denominen equacions diferencials. Tal volta l'eixemple més conegut és la llei de Newton:^[1]

Importància

Isaac Newton es donava conte de l'importància que tenien les equacions diferencials per a l'anàlisis dels fenomens de la naturalea. En els seus renombrados Principis matemàtics de la filosofia natural (1687) que engloben mecànica newtoniana, escomencen en l'equació diferencial del moviment. Esta equació es considera com axioma, mentres que els plantejaments posteriors de la mecànica són, de fet, teoremes que es deriven de dit axioma, aixina com de la llei de gravitació universal que es deduïx dels fets experimentals (lleis de Kepler) i del mencionat axioma:^[2]

$F = \frac{d p}{d t} = m \frac{d s^{2}}{d t}$

Una ecuación diferencial ordinaria (EDO) puede plantearse, siendo F una relació o función, como

... per a representar la EDO en que la función incógnita (también conocida como variable dependiente), lo es d'una única variable independiente. En general, una ecuación diferencialineal d'orden n puede formularse, siendo cada $a_{i}$ una función dependiente de t, como:

Una solución de la ecuación (1a) o (1b) será una "familia" de curvas o funciones del tipo $y = f (t)$ que substituida dins de l'equació la convertix en una igualtat en la que tots els térmens són coneguts. En la formulació més simple, la funció incògnita és una funció per a cert valor real o complex pero en major generalitat, pugues ser-ho per al valor d'un vector o matriu, lo que du a considerar un sistema d'equacions diferencials ordinàries (EDO) per a una única funció.

Definicions

Siga ___* $y = f (x)$ , tal que $f : ℝ \to ℝ$ , $y^{(n)}$ la n-ésima derivada de $y$ , entonces una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden n tiene la siguiente forma:

per a funciones vectorials,

y : ℝ \to ℝ^{m}

,

la ecuación es llamada un sistema d'ecuaciones lineals diferencials de dimensión m. Cuando una ecuación diferencial d'orden n tiene la forma

F (x, y, y^{'}, y^{″}, \dots, y^{(n)}) = 0

es llamada una ecuación diferencial implícita, mientras que en la forma

F (x, y, y^{'}, y^{″}, \dots, y^{(n - 1)}) = y^{(n)}

es llamada una ecuación diferencial explícita. Una ecuación diferencial que no depende de x es denominada autónoma. Se dice que una ecuación diferencial es ecuación diferencialinealineal si F puede ser escrita como una combinación lineal de les derivades de y

y^{(n)} = \sum_{i = 0}^{n - 1} a_{i} (x) y^{(i)} + r (x)

siendo, tanto $a_{i} (x)$ como $r (x)$ funcions contínues de x. La funció r(x) és cridada el terme font (traduït de l'anglés source term); si r(x)=0 l'equació diferenciallineal és cridada homogénea, de lo contrari és cridada no homogénea.

Solucions

Donada una equació diferencial

___*

F (x, y, y^{'}, \dots, y^{(n)}) = 0,

una función u: I ⊂ R → R es llamada la solución, y su gráfica se llama curva integral de F,^[3] si u es n veces derivable en I, y

F (x, u, u^{'}, \dots, u^{(n)}) = 0 x \in I .

Dadas dos soluciones u: J ⊂ R → R y v: I ⊂ R → R, u es llamada una extensión de v si I ⊂ J, y

u (x) = v (x) x \in I .

Una solución que no tiene extensión es llamada una solución general.^{cita requerida}

Una solución general d'una ecuación d'orden n es una solución que contiene n variables arbitrarias, correspondientes a n constantes d'integración. Una solución particular es derivada de la solución general per mig de la fijación de valores particulares per a les constantes, a menudo elegidas per a cumplir condiciones inicials. Una solución singular es la que no puede derivarse de la general.

Solución d'una EDO de primer orden

Si se considera una ecuación diferencial de la forma:

$y^{'} = f (x, y$ )

una ecuación de primer orden resuelta en respecte a la derivada, se llama su solución general de la anterior ecuación diferencial, será una función del tipo:

$y = φ (x, C)$

que depende d'una constante arbitraria C. Satisface ecuación diferencial per a cualquier valor de la constante C. Además cualquiera que sea la condició inicial

$y (x_{0}) = y_{0}$

sempre es pot assignar un valor C₀ a la constant C, tal que la funció i = φ(x, C₀) satisfaça la condició inicial donada. Es presumix que el punt (x₀, i₀) està en un interval a on es complixen les condicions d'existència i d'unicitat de la solució.^[4] Les solucions es poden trobar en auxili de transformacions idèntiques i de canvis de variables.^[5]

Condicions inicials

AP En general si no s'especifiquen certs valors inicials o de contorn, que deu satisfer la solució d'una equació diferencial com (1) llavors no existirà una solució [particular] única, és dir, una única funció que satisfaça l'equació diferencial. Per a una equació diferenciallineal d'orde n per eixemple es requerixen n condiciones inicials o de contorn, per a que existixca una única funció que complixca simultàneament l'equació diferencia i les condicions de contorn. Si solament s'especifiquen condicions inicials el problema de trobar una funció que satisfaça l'equació diferencial i les condicions inicials es denomina problema de Cauchy. Si s'especifiquen condicions que no són solament condicions de contorn poden tindre's problemes diferents com els problemes de Sturm-Liuville.

Tipos i forma de resolució

Existixen diversos tipos d'equacions diferencials ordinàries, cada una en una forma de resolució distinta; per a classificar-les, cal fer la diferència entre equacions diferencials de primer orde i equacions d'orde superior (ya que les primeres són, per lo general, de més fàcil resolució).

Existència i unicitat de solucions

Donat el Problema de Cauchy

${\begin{matrix} x^{'} = f (t, x), \\ x (t_{0}) = x_{0}, \end{matrix}$

el Teorema de Peano garantiza la existencia local de sus soluciones cuando

f

es continua. Es importante notar que la solución dada por este teorema no tiene por qué ser única. Si además

f

es localmente Lipschitz respecte a

x

, llavors el Teorema de Picard-Lindelöf garantisa també l'unicitat local de la solució.

Solucions analítiques

Existixen métodos de resolució generals per a equacions diferencials ordinàries llineals que permeten trobar solucions analítiques. En particular si els coeficients de l'equació llineal són constants o periòdics la solució és casi sempre fàcil de construir. Per a coeficients no constants o no periòdics, pero que són desarrollables en série de Taylor o série de Laurent és aplicable en certes restriccions el método de Frobenius. Una atra possibilitat és reduir una equació diferenciallineal d'orde n a un sistema de n equacions diferencials llineals de primer orde. Per a les equacions diferencials ordinàries no llineals no existixen métodos generals.

Solucions numèriques

Alguns dels métodos de solució numèrica d'equacions diferencials són el método de Runge-Kutta, els métodos multipaso i els métodos d'extrapolació.

Equacions diferencials ordinàries de primer orde

Artícul principal → Equació diferencial ordinària de primer orde.

Una equació diferencial de primer orde en el valor inicial s'expressa de la següent forma:

A on ___* $y (t_{0}) = y_{0}$ és la condició inicial. Entre els tipos d'EDO de primer orde es troben:^[6]

Equació de variables separables

Són EDO de la forma:

$\frac{d y}{d t} = f (t, y)$

Estas se pueden expresar en la forma:

$g (y) d y = h (t) d t$

En a on se procede integrando ambos miembros de la ecuación

$\int g (y) d y = \int h (t) d t$

De l'anterior és possible obtindre la solució general. Se supondrà que les funciones g i h són contínues.^[5]

Equació exacta

Artícul principal → Equació diferencial exacta.

Una equació de la forma:

$M (x, y) d x + N (x, y) d y = 0,$

se dice exacta si existe una función F que cumpla:

$\frac{\partial F}{\partial x} (x, y) = M$

y

$\frac{\partial F}{\partial y} (x, y) = N .$

Su solución es entonces:

$F (x, y) = C .$

EDO de primer orde i homogénea

Artícul principal → Equació diferencial ordinària de primer orde.

L'equació diferencial ordinària de primer orde:

Per a resoldre s'usa la substitució i=xv, sent v= v(x) una funció desconeguda. No obstant, la paraula 'homogénea' assumix un atre significat, dins de l'estudi de les EDO, fòra d'este context.

Equació llineal

Artícul principal → Equació diferenciallineal.

Una equació diferencial és llineal si presenta la forma:

$y^{'} + P (x) y = Q (x)$

Y que tienen por solución:

$y (x) = e^{- \int P (x) d x} . (C + \int Q (x) e^{\int P (x) d x} d x)$

Com es pot apreciar, esta equació és una equació diferencial de Bernoulli, en n=0.

Equació de Bernoulli

Artícul principal → Equació diferencial de Bernoulli.

Una equació diferencial de Bernoulli, que és a la seua volta una generalisació de l'equació diferenciallineal, va ser formulada per Jakob Bernoulli i resolta pel seu germà, Johann Bernoulli i presenta la forma:

$y^{'} + P (x) y = Q (x) y^{n}$

En la cual, si se hace la sustitución $z = y^{1 - n}$ , l'equació es transforma en una equació llineal en z com a variable depenent, resolent-se de manera anàloga.

Equació de Riccati

Artícul principal → Equació de Riccati.

Esta equació diferencial introduïda per Jacopo Francesco Riccati presenta l'estructura:

$y^{'} (x) + P (x) y^{2} + Q (x) y + R (x) = 0$

per a resolverla, se debe hacer la sustitución $y = y_{p} + \frac{1}{z}$ , a on $y_{p}$ és una solució particular qualsevol de l'equació.

Equació de Lagrange

Una equació diferencial de Lagrange ^{cita requerida} presenta la forma:

$y = g (y^{'}) x + f (y^{'})$

Resolviéndose con la sustitución $y^{'} = p$ , diferenciando y sustituyendo dy por pdx, se convierte a atra considerada en x como función de p, es lineal. Resolviendo está última $x = s (p, C)$ , se halla la solución general de la ecuación inicial en forma paramétrica:

$x = s (p, C)$
$y = s (p, C) g (p) + f (p)$ a on p es un parámetro. Además la ecuación de Lagrange puede tener soluciones singulares de la forma $y = x g (c) + f (c)$ , siendo c una raíz de la ecuación $c = g (c)$ .^[7]

Equació de Clairaut

Artícul principal → Equació diferencial de Clairaut.

Una equació diferencial de Clairaut, cridada aixina en honor a Alexis-Claude Clairaut, té la forma:

$y = x y^{'} + f (y^{'})$

Como se puede apreciar, esta ecuación es una forma particular de la ecuación diferencial de Lagrange, con $g (y^{'}) = y^{'}$ , per la qual cosa, la seua resolució és anàloga a l'anterior.

Equació de Jacobi

Artícul principal → Equació de Jacobi.

Equacions diferencials ordinàries de segon orde

Molts problemes físics importants tant en mecànica com en electromagnetisme comporten la resolució d'equacions diferencials de segon orde.

Equació llineal en coeficients constants

L'equació diferencial de segon orde en coeficients constants té la forma:

La resolució d'esta equació depén de les raïls del polinomi característic:

$a λ^{2} + b λ + c = 0$

En función de cómo sean les raíces de dicho polinomio se distinguen tres casos posibles y distintos:

Caso 1: dos raíces reals y distintas $(λ_{1} \neq λ_{2})$ , en este caso la solución general tiene la forma:

Caso 2: dos raíces reals e iguals $(λ_{1} = λ_{2})$ , en este caso la solución general tiene la forma:

Caso 3: dos raíces complejas conjugades $(λ_{1} = p + q i, λ_{2} = p - q i)$ , en este cas la solució general té la forma:

L'últim terme d'esta última equació està relacionat en l'integral de Duhamel.

Equació diferencial d'Euler-Cauchy

Esta equació té la forma:

I pot resoldre's per mig del canvi de variable ___* $x = e^{t}$ que transforma l'equació anterior en una equació de coeficients constants resoluble pels métodos de la secció anterior:

Equacions de Bessel

Vore també: Funció de Bessel

L'equació diferencial de Bessel, apareix en freqüència en la resolució del problema de Dirichlet en coordenades cilíndriques. Dita equació té la forma:

Esta equació és resoluble per mig de les cridades funcions de Bessel:

$y (x) = C_{1} J_{n} (x) + C_{2} Y_{n} (x)$

Ademés d'esta equació existix una atra equació resoluble per mig de funcions de Bessel. L'equació diferencial de Bessel modificada, apareix en freqüència en la resolució del problema de Dirichlet en coordenades cilíndriques. Dita equació té la forma:

La solució Del qual ve donada per:

Equació de Legendre

Vore també: Polinomis de Legendre

L'equació diferencial de Legendre, apareix en freqüència en la resolució del problema de Dirichlet en coordenades esfèriques. L'equació té la forma:

Quan n és un sancer una de les dos solucions independents que conformen la solució general de l'equació anterior és el polinomi de Legendre de grau n:

Les solució general pot expressar-se en la forma:

A on:

Equacions diferencials ordinàries d'orde superior

Equació llineal d'orde n en coeficients constants

Artícul principal → Equació diferenciallineal.

L'equació diferenciallineal d'orde n en coeficients constants és de la següent forma:

A on els térmens ___* $a_{i}$ representan constantes $\forall i \in ℕ$ En el caso homogéneo cuando el segundo miembro es idénticamente nulo, les soluciones d'esta ecuación se pueden obtener a partir de la raíces del polinomio característico de la ecuación:

En el caso de que todas les raíces sean diferentes la solución viene dada por:

En el caso de que existan varias raíces múltiples, existiendo solo k raíces diferentes y siendo $m_{i}$ la multiplicitat de la raïl i-ésima, la solució general és de la forma:

Les multiplicitat de cada raïl són l'exponent de la següent descomposició:

Vore també

Referències

↑ Boyce y Vaig donar Prima, 1991, pp. 17
↑ Zeldovich y Yaglom, 1987, pp. 210 i 211
↑ Kiseliov, Krasnov y Makarenko, 1987, p. 10
↑ Kiseliov, Krasnov y Makarenko, 1987, pp. 11-12
↑ ^5,0 ^5,1 Filíppov, 2007
↑ Aranda Iriarte, 2008 Capítul 1 (equacions de primer orde) [1] archivat en Wayback Machine.
↑ Kiseliov, Krasnov y Makarenko, 1987

Bibliografia

(2009) Apuntes d'equacions diferencials I, Universitat Complutense de Madrit.
(1991) Equacions diferencials i problemes en valors en la frontera. OCLC 991704064. ISBN 968-18-0107-5.
Bronson, Richard (1990). Equacions diferencials modernes, Imprés en Editorial Nomos, Bogotà: Mc Graw-Hill. OCLC 634286982. ISBN 9684513186.
Filíppov, A. F. (2007). Introducció a la teoria d'equacions diferencials, Moscou: URSS. OCLC 630590315. ISBN 978-5-484-00999-2.
(1987) Problemes d'equacions diferencials ordinàries, Moscou: Mir.
Plantilla:GSM
(1987) Matemàtiques superiors: per als físics i tècnics principiantes, Moscou: Mir.

Gutermuth, Denise. Picard’s existence and uniqueness theorem.

Enllaços externs

Plantilla:Wikibooks (en anglés).

Este artícul conté una traducció derivada de «Ecuación diferencial ordinaria» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Boyce y Vaig donar Prima, 1991, pp. 17

[2] Zeldovich y Yaglom, 1987, pp. 210 i 211

[3] Kiseliov, Krasnov y Makarenko, 1987, p. 10

[4] Kiseliov, Krasnov y Makarenko, 1987, pp. 11-12

[filippov2007-5] 5,0 ^5,1 Filíppov, 2007

[6] Aranda Iriarte, 2008 Capítul 1 (equacions de primer orde) [1] archivat en Wayback Machine.

[7] Kiseliov, Krasnov y Makarenko, 1987

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]