Llei de gravitació universal

Erro al crear miniatura:

Forces mútues d'atracció entre dos esferes de diferent tamany. D'acort en la mecànica newtoniana les dos forces són iguals en mòdul, pero de sentit contrari; en estar aplicades en diferents cossos no s'anulen i el seu efecte combinat no altera la posició del centre de gravetat conjunt d'abdós esferes.

La llei de gravitació universal és una llei en la mecànica clàssica que descriu la força o interacció gravitatoria entre distints cossos en massa, va ser formulada per Isaac Newton en el seu llibre Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica, publicat el 5 de juliol de 1687, a on establix per primera volta una relació proporcional de la força en que s'atrauen dos objectes en massa. Aixina, Newton va deduir que la força en que s'atrauen dos cossos tenia que ser proporcional al producte de les seues masses dividit per la distància entre ells al quadrat. Per a grans distàncies de separació entre cossos s'observa que dita força actua de manera molt aproximada com si tota la massa de cada u dels cossos estiguera concentrada únicament en el seu centre de gravetat, és dir, és com si dits objectes anaren únicament un punt, la qual cosa permet reduir enormement la complexitat de les interaccions entre cossos complexos.

Aixina, en tot açò resulta que la llei de la gravitació universal prediu que la força eixercida entre dos cossos de masses $m_1$ i $m_2$ separats una distància $r$ és directament proporcional a les seues masses i inversamente proporcional al quadrat de la distància, és dir:

$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$
 Nota: G també pot estar inclós en la divisió abans de m¹

Símbol	Nom
$F$	Mòdul de la força eixercida entre abdós cossos, la direcció dels quals es troba en l'eix que els unix
$G$	Constant de gravitació universal
$m_1$	Massa de cos 1
$m_2$	Massa de cos 2
$r$	Distància entre els centres de masses dels dos cossos

És dir, quant més massius siguen els cossos i més propencs es troben, s'atrauran en major força.

El valor d'esta constant de gravitació universal no va poder ser establit per Newton, que únicament va deduir la forma de l'interacció gravitatoria, pero no tenia suficients senyes com per a establir cuantitativamente el seu valor. Únicament va deduir que el seu valor deuria ser molt menut. Solament molt temps despuix es varen desenrollar les tècniques necessàries per a calcular el seu valor, i encara hui és una de les constants universals conegudes en menor precisió. En 1798, es va fer el primer intent de medició (vore l'experiment de Cavendish) i en l'actualitat, en tècniques molt més precises s'ha aplegat a estos resultats:

en unitats del Sistema Internacional.

Esta llei recorda molt a la forma de la llei de Coulomb per a les forces electrostàtiques, ya que abdós lleis seguixen una llei de l'inversa del quadrat (és dir, la força decau en el quadrat de la distància) i abdós són proporcionals al producte de magnituts pròpies dels cossos (en el cas gravitatorio de les seues masses i en el cas electrostàtic del seu càrrega elèctrica).

Encara que actualment es coneixen els llímits en els que dita llei deixa de tindre validea (la qual cosa ocorre bàsicament quan nos trobem prop de cossos extremadament massius), en el cas dels quals és necessari realisar una descripció a través de la relativitat general enunciada per Albert Einstein en 1915, dita llei seguix sent àmpliament utilisada i permet descriure en una extraordinària precisió els moviments dels cossos (com a planetes, llunes o asteroides) del sistema solar, per lo que a grans traces, per a la major part de les aplicacions quotidianes seguix sent l'utilisada, per la seua major simplicitat front a la relativitat general, i a que està en estes situacions no prediu variacions detectables respecte a la gravitació universal.

Formulació general de la llei de la gravitació universal

Forma vectorial

Encara que en l'equació (1) s'ha detallat la dependència del valor de la força gravitatoria per a dos cossos cualquieras, existix una forma més general en la que es pot descriure completament dita força, ya que en lloc de donar-nos únicament el seu valor, també podem trobar directament la seua direcció. Per a això, es convertix dita equació en forma vectorial, per ad açò únicament cal tindre en conte les posicions a on es localisen abdós cossos, referenciados a un sistema de referència qualsevol. D'esta forma, suponent que abdós cossos es troben en les posicions ${𝐫}_1,{𝐫}_2$, la força (que serà un vector ara) vindrà donada per la següent equació

a on ${\widehat{𝐮}}_{12}$ és el vector unitari que va del centre de la gravetat de l'objecte 1 al de l'objecte 2.

Cossos extensos

S'ha mencionat anteriorment que dits cossos es poden tractar com a cossos puntuals, localisats en el centre de gravetat del cos real, de tal forma que la descripció d'esta força es realisa treballant únicament en cossos puntuals (tota la seua massa es troba concentrada en el seu centre). No obstant, per a alguns casos es pot fer necessari tractar dits cossos com lo que són, cossos en una extensió donada, és dir no puntuals. Un eixemple a on este tractament és obligatori és quan es desija determinar cóm varia la força de la gravetat a mida que nos situem en l'interior d'un objecte, per eixemple quina gravetat existix en l'interior de la Terra (en la regió del mant terrestre o del núcleu).

En estos casos és necessari descriure a l'objecte massiu com una distribució de massa, és dir, descriure-ho a través de la seua densitat en cada punt de l'espai. Aixina, es integra la força que produïx cada element infinitesimal del cos sobre cada element de l'atre objecte, sumant a tots els elements que existixen en el volum d'abdós cossos, la qual cosa matemàticament es traduïx en una integral sobre el volum de cada cos, de tal forma que la força gravitatoria entre abdós s'obté com

A on

$V_1,V_2$ són els volums dels dos cossos.

${\rho }_1,{\rho }_2$ són les densitat dels dos cossos en cada punt de l'espai ($r_1,r_2$).

Pot vore's que si es tenen dos cossos finitos llavors la força gravitatoria entre abdós ve acotada per:

A on $d_{\min },d_{\max }$ són les distàncies mínima i màxima entre els dos cossos en un instant donat.

Conseqüències

Acceleració de la gravetat

Archiu:PisaGravedad.gif

Efecte de l'atracció gravitatoria terrestre: animació d'una esfera en caiguda lliure des de la Torre de Pisa

Considerant la segona llei de Newton, que explica que l'acceleració que sofrix un cos és proporcional a la força eixercida sobre ell, estant abdós relacionades per una constant de proporcionalitat que és precisament la massa de dit objecte,

i introduint-la en la llei de la Gravitació Universal (en la seua forma més simple, únicament per simplicitat) s'obté que l'acceleració que sofrix un cos per la força de la gravetat eixercida per un atre de massa $M$ és igual a

a on $g$ és l'acceleració sofrida.

És dir, dita acceleració és independent de la massa que presente el nostre objecte, únicament depén de la massa del cos que eixercix la força i de la seua distància. Per això, si es tenen dos cossos de diferent massa (per eixemple la Lluna i un satèlit artificial, que únicament tinga una massa d'uns pocs quilograms) a la mateixa distància de la Terra, l'acceleració que produïx esta sobre abdós és exactament la mateixa.

Tal com l'acceleració que té la mateixa direcció que la de la força, és dir en la direcció que unix abdós cossos, açò produïx que si sobre abdós cossos no s'eixercix cap atra força externa, estos es mouran descrivint òrbites entre sí, la qual cosa descriu perfectament el moviment planetari (o del sistema Terra-Lluna), o de caiguda lliure aproximant-se un cos cap a l'atre, com ocorre en qualsevol objecte que soltem en l'aire i que cau irremediablement cap al sol, en la direcció del centre de la Terra.

En esta llei es pot determinar l'acceleració de la gravetat que produïx un cos qualsevol situat a una distància donada. Per eixemple, es deduïx que l'acceleració de la gravetat que nos trobem en la superfície terrestre per la massa de la Terra és de $g\approx 9.81{\text{m/s}}^2$, que és l'acceleració sofrida per un objecte en caure. I que esta acceleració és pràcticament la mateixa en l'espai, a la distància a on es troba l'Estació Espacial Internacional, $g\approx 9.32{\text{m/s}}^2$ (és dir, és un 95 % de la gravetat que tenim en la superfície, únicament una diferència d'un 5 %), sent necessari recordar que el fet de que els astronautes no senten la gravetat no és perque esta allí és nula, sino pel seu estat d'ingravidez (de caiguda lliure contínua).

I la gravetat que eixercix una persona sobre una atra, situada a un metro de distància, és d'entorn a $g\sim 10^{-8}{\text{m/s}}^2$ (per a una persona d'uns 100 kg). Est és el fet pel que no sentim la gravetat que eixercixen cossos poc massius com nosatres.

Preeminència del cos més massiu

Continuant en lo que s'acaba de mencionar sobre l'acceleració que sofrix un cos com a conseqüència de la presència d'un atre objecte massiu, el fet de que esta acceleració únicament depenga de la massa d'este objecte massiu mostra que, per a dos cossos donats de diferent massa, el cos menys massiu serà el que sofrixca una acceleració major, i per tant un canvi de moviment més pronunciat. En açò s'observa directament una resposta a per qué és la Terra la que orbita entorn al Sol i no al revés, ya que este últim té una massa superior a la de la Terra (unes 330 000 voltes superior), fent en canvi que el moviment experimentat pel Sol com a conseqüència de l'atracció que eixercix la Terra sobre ell siga insignificant. I d'igual modo, és la Lluna (cos menys massiu) la que orbita entorn a la Terra.

Interior d'un cos esfèric

Archiu:Slice earth caps block 0 .svg

Intensitat del camp gravitatorio terrestre (des de l'òrbita del Shuttle fins al centre del planeta)

Una de les conseqüències que du que la gravetat siga una força que depén com l'inversa del quadrat de la distància és que si es té un cos esfèric, en una densitat que únicament va variant a mida que nos alluntem del centre del cos (la qual cosa podria ser un model que descriu de forma prou adequada a la Terra), es pot demostrar a través de la llei de Gauss que la força en el seu interior (a una distància $r$ del centre) únicament depén de la massa existent dins de l'esfera de radi $r$. És dir, la massa que hi ha fòra de dita esfera no produïx cap força sobre un cos situat en dit punt. Per això, dins del cos la força ya no depén de l'inversa quadrat (lloc que ara la massa a considerar depén també de dita distància) i resulta que és proporcional a dita distància. Açò és, en l'interior del cos la força de la gravetat va creixent conforme nos alluntem del centre del cos (en a on esta és nula) fins a aplegar a la superfície, a on es fa màxima.

Este raonament és vàlit per a esferes homogénees, és dir, de densitat uniforme. No obstant, la Terra posseïx un núcleu metàlic (el nife) molt més dens que el mant i la corfa, per lo que la màxima intensitat del camp gravitatorio es produïx precisament en el llímit entre el núcleu i el mant.

Una volta alcançada la superfície exterior, s'observa el comportament habitual d'afluixó conforme nos alluntem del cos. Tot açò es pot vore en major profunditat en l'entrada de l'intensitat del camp gravitatorio.

Interior d'una corfa hueca

I per extensió de lo que s'acaba de mencionar, en el cas en que es tinguera un cos esfèric buit (és dir que únicament seria un clafoll esfèric), en qualsevol punt extern a ell seguix produint una força de la gravetat d'acort en l'equació (1), és dir com si dit cos fora puntual. No obstant, en ubicar-nos dins del mateix, observaríem que no hi ha força de la gravetat, ya que en el seu interior ya no hi ha massa.

Moviment dels planetes

Com s'ha mencionat en l'apartat històric, esta llei permet recuperar i explicar la tercera llei de Kepler, que mostra d'acort a les observacions que els planetes que es troben més alluntats del Sol tarden més temps en donar un regrés al voltant d'est. Ademés d'açò, en dita llei i usant les lleis de Newton es descriu perfectament tant el moviment planetari del sistema solar com el moviment dels satèlits (llunes) o sondes enviades des de la Terra. Per això, esta llei va estar considerada com una llei fonamental per més de 200 anys, i encara hui seguix estant vigent per a la majoria dels càlculs necessaris que atañer a la gravetat.

Un dels fets que mostren la seua precisió és que en analisar les òrbites dels planetes coneguts entorn a 1800 (quan encara quedaven per descobrir Neptú i Plutó), s'observaven irregularitats entorn a l'òrbita d'Urà principalment, i de Saturn i Júpiter en menor mida, respecte a lo que predia la llei de Newton (junt en les lleis de Kepler). Per esta raó, alguns astrònoms varen supondre que dites irregularitats eren degudes a l'existència d'un atre planeta més extern, alluntat, que encara no havia segut descobert. Aixina, tant Adams com Li Verrier (de forma independent) varen calcular matemàticament on deuria trobar-se dit planeta desconegut per a poder explicar dites irregularitats. Neptú va ser descobert al poc temps per l'astrònom Galle, el 23 de setembre de 1846, seguint les seues indicacions i trobant-ho a menys d'un grau de distància de la posició predita.

Correcció del pes per l'efecte centrífugo en la Terra

Artícul principal → Efecte Eötvös.

Quan un cos descriu un moviment circular la seua velocitat va canviant constantment de direcció, lo que significa que està somés a una acceleració per no ser constant la seua velocitat, encara que el seu mòdul o celeritat no canvie. En estes condicions, l'acceleració que experimenta el cos es deu a una força que actua sobre l'i que està dirigida cap al centre de la trayectòria circular que rep el nom de força centrípeta. Si esta força deixara d'actuar, el cos abandonaria la trayectòria circular en direcció tangencial a la mateixa, adquirint un moviment rectilíneo uniforme en absència d'atres forces.

Si es posa a girar una pedra nugada a un cordel, est eixercix una força centrípeta constant per a tirar de la pedra accelerant-la cap al centre del círcul. La pedra eixercix sobre el cordel una força igual i oposta originant una tensió en el cordel que aumentarà a mida que siga major la velocitat en que gira la pedra. Per a calcular el valor de la força centrípeta s'usa l'equació:

$F_c=\frac{m{v}^2}{r}$
 

Símbol	Nom	Unitat
$F_c$	Força centrípeta	N
$m$	massa del cos que gira	kg
$v$	Velocitat llineal del cos	m/s
$r$	radi de la circumferència	m

La força centrífuga és una força fictícia, percebuda per un observador sobre la terra que és igual en mòdul i de sentit opost a l'acceleració centrípeta de la superfície de la Terra, per lo que un observador situat sobre l'equador terrestre percebrà una major força centrípeta que en els pols. Açò es deu a que en un punt de l'equador es mou més ràpit que en un pròxim als pols. Per tant, quan la Terra dona un regrés al voltant del seu eix, el punt sobre l'equador haurà recorregut aproximadament 40 000 km, que és el valor de la llongitut de la circumferència en l'equador, mentres que el punt pròxim a un dels pols recorreria una distància molt més chicoteta (de valor 0 exactament en cada pol). Debido a ello, la velocitat llineal d'un punt sobre l'equador serà major que la d'un punt prop dels pols i conseqüentment serà major també la seua força centrífuga. Com l'efecte de la força centrífuga és un distanciament respecte a l'eix de gir, la força centrífuga percebuda per un observador sobre la Terra equival a que este veja que dits cossos s'allunten de l'eix de gir, reduint l'efecte de la força de gravetat d'acort en les mides de dit observador.

Per eixa raó, en medir el pes efectiu d'un cos un observador situat prop de la llínea de l'equador medirà un menor pese que un situat prop dels pols, toda vez que l'acceleració centrífuga mida és menor en els pols, ademés de trobar-se més prop del centre de la Terra pel achatamiento dels seus pols.