Força centrípeta

Força centrípeta en un moviment circular

Es coneix com a força centrípeta a la força o al component de la força que actua sobre un objecte en moviment que passa per una trayectòria curvilínea i que està dirigida cap al centre de curvatura de la trayectòria.

El terme «centrípeta» prové de les paraules llatines centrum, «centre» i petere, «dirigir-se cap a», i pot ser obtinguda a partir de les Lleis de Newton. En el cas d'un objecte que es mou en trayectòria circular en velocitat canviant, la força neta sobre el cos pot ser descomposta en un component perpendicular que canvia la direcció del moviment i un de tangencial, paralel a la velocitat, que modifica el mòdul de la velocitat.

La força centrípeta no deu ser confosa en la força centrífuga, tal com s'explica en la secció Malentesos comuns.

Un eixemple comú en el que intervé la força centrípeta és el cas en el que un cos es mou en velocitat uniforme a lo llarc d'una trayectòria circular. La força centrípeta es dirigix perpendicularment al moviment i també a lo llarc del radi cap al centre de la trayectòria circular. La descripció matemàtica va ser derivada en 1659 pel físic holandés Christiaan Huygens.

Fòrmula

De la cinemàtica del moviment curve se sap que un objecte que es mou a velocitat tangencial v a lo llarc d'una trayectòria en ràdio de curvatura r accelera cap al centre de curvatura a una velocitat

Erro al representar (Erro de conversió. El servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") informà: "Class "Wikibase\Client\WikibaseClient" not found"): {\displaystyle {\textbf {a}}_{c}=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {|\Delta {\textbf {v}}|}{\Delta t}},\quad a_{c}={\frac {v^{2}}{r}}}

Ací, $a_c$ és l'acceleració centrípeta i $\Delta \mathbf{\text{𝐯}}$ és el diferència entre els vectores velocitat en $t+\Delta t$ i $t$.

Per segona llei de Newton, la causa de l'acceleració és una força neta que actua sobre l'objecte i que és proporcional a la seua massa m i a la seua acceleració. La força, normalment denominada força centrípeta, té una magnitut

Erro al representar (Erro de conversió. El servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") informà: "Class "Wikibase\Client\WikibaseClient" not found"): {\displaystyle F_{c}=ma_{c}=m{\frac {v^{2}}{r}}}

i es dirigix, com l'acceleració centrípeta, cap al centre de curvatura de la trayectòria de l'objecte.

Derivació

L'acceleració centrípeta pot deduir-se del diagrama dels vectores de velocitat en dos instàncies. En el cas de moviment circular uniforme, les velocitats tenen magnitut constant. Com cada una d'elles és perpendicular al seu respectiu vector de posició, la simple substracció de vectores implica dos triànguls isósceles semblants en ànguls congruents -un que comprén una base de $\Delta \mathbf{\text{𝐯}}$ i una altura de llongitut $v$ i l'atra una base de $\Delta \mathbf{\text{𝐫}}$ (vector de posició diferència) i una llongitut de costat de $r$: $$\frac{|\Delta \mathbf{\text{𝐯}}|}{v}=\frac{|\Delta \mathbf{\text{𝐫}}|}{r}$$ $$|\Delta \mathbf{\text{𝐯}}|=\frac{v}{r}|\Delta \mathbf{\text{𝐫}}|$$

Per lo tant, $|\Delta \mathbf{\text{𝐯}}|$ pot substituir-se per $\frac{v}{r}|\Delta \mathbf{\text{𝐫}}|$: $$a_c=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{|\Delta \mathbf{\text{𝐯}}|}{\Delta t}=\frac{v}{r}\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{|\Delta \mathbf{\text{𝐫}}|}{\Delta t}=\omega \underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{|\Delta \mathbf{\text{𝐫}}|}{\Delta t}=v\omega =\frac{v^2}{r}$$

La direcció de la força és cap al centre del círcul en el que es mou l'objecte, o el círcul osculante (el círcul que millor s'ajusta a la trayectòria local de l'objecte, si la trayectòria no és circular).

La velocitat en la fòrmula s'eleva al quadrat, per lo que el doble de velocitat necessita quatre voltes la força, en un radi donat.

Esta força també s'escriu a voltes en térmens de la velocitat angular ω de l'objecte al voltant del centre del círcul, relacionada en la velocitat tangencial per mig de la fòrmula

$$v=\omega r$$ de modo que $$F_c=mr{\omega }^2.$$

Expressat per mig del periodo orbital T per a una revolució del círcul, Erro al representar (Erro de conversió. El servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") informà: "Class "Wikibase\Client\WikibaseClient" not found"): {\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}}

l'equació es convertix en $$F_c=mr{\left(\frac{2\pi }{T}\right)}^2.$$

En els acceleradors de partícules, la velocitat pot ser molt alta (propenca a la velocitat de la llum en el buit) per lo que la mateixa massa en repòs eixercix ara una major inèrcia (massa relativista) requerint aixina una major força per a la mateixa acceleració centrípeta, per lo que l'equació es convertix en:

$$F_c=\frac{\gamma m{v}^2}{r}$$ a on

Erro al representar (Erro de conversió. El servidor ("https://wikimedia.org/api/rest_") informà: "Class "Wikibase\Client\WikibaseClient" not found"): {\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}} és el factor de Lorentz.

Aixina, la força centrípeta ve donada per: $$F_c=\gamma mv\omega$$

que és la taxa de canvi del moment relativiste $\gamma mv$.

Força centrípeta en mecànica newtoniana

Els objectes en moviment rectilíneo uniforme tenen una velocitat constant; pero un objecte que es moga sobre una trayectòria circular en rapidea constant experimenta contínuament un canvi en la direcció del seu moviment, açò és, en la direcció de la velocitat. ya que la velocitat canvia, existix una acceleració. La magnitut d'este canvi de direcció de la velocitat per unitat de temps és l'acceleració centrípeta, representada per un vector dirigit cap al centre de la circumferència donat per:

$𝐚=-\frac{v^2}{r}\left(\frac{𝐫}{r}\right)=-\frac{v^2}{r}{\widehat{𝐮}}_r=-{\omega }^2𝐫$

Símbol	Nom
$𝐚$	Acceleració centrípeta
$v$	Mòdul de la velocitat
$r$	Radi de la trayectòria circular (en general, el radi de curvatura)
$𝐫$	Vector de posició
${𝐮}_r$	Vector radial
$\omega$	Velocitat angular

Segons la segona llei de Newton, per a que es produïxca una acceleració deu actuar una força en la direcció d'eixa acceleració. Aixina, si considerem una partícula de massa $m$ en moviment circular uniforme, estarà somesa a una força centrípeta donada per:

Eixemple

Supongam que nuguem una pilota en una corda i la fem girar en círcul a velocitat angular constant. La pilota es mou en una trayectòria circular perque la corda eixercix sobre ella una força centrípeta. Per tant, esta força sempre va actuar cap al centre de la trayectòria.

Malentesos comuns

En alguns texts acadèmics introductoris és freqüent trobar certa confusió entre els térmens "força centrípeta" i "força centrífuga". La força centrífuga és una força fictícia que "apareix" per a un observador que usa un marc de referència en rotació per a descriure el moviment. En canvi, un observador en un marc de referència inercial no percep cap força centrífuga, mentres que sí veu una força real anomenada força centrípeta que és la que obliga un mòvil a curvar la seua trayectòria en la direcció de dita força. El problema residix que en un sistema de referència en rotació, la força centrífuga (fictícia) intuïda per un observador en repòs en dit referencial coincidix en magnitut –pero en sentit contrari– en la força centrípeta (real) necessària per a mantindre un cos en repòs en tal sistema de referència en rotació.

Tampoc la força centrípeta deu confondre's en la denominada força central. La força central és una força real que actua sobre un cos i que complix en dos condicions:

1. la seua magnitut depén només de la distància del cos a un punt que es denomina centre de forces i
2. la seua llínea d'acció passa pel citat centre de forces.

Eixemples de forces centrals són la força gravitatoria i la força electrostàtica. Freqüentment, la força centrípeta és una força central. Una excepció ocorre quan el centre de masses no coincidix en el centre geomètric de l'objecte sobre el qual actuen les forces, en lo que cal posar especial émfasis sobre la direcció de la força centrípeta i els punts a on actua. Un eixemple clar d'este fenomen ocorre en la dinàmica d'un cilindre inhomogéneo que roda sobre un pla inclinat fins a desapegar-se del mateix.