Força fictícia

Una força fictícia (també cridada força d'inèrcia,^[1]^[2] pseudofuerza,^[3] o força de d'Alembert,^[4]^[5]) és una força que apareix quan es realisa la descripció d'un moviment sobre un sistema de referència no inercial, i que per tant no correspon a una força genuïna en el context de la descripció del moviment del que s'ocupen les lleis de Newton que estan enunciades per a sistemes de referència inerciales.

Les forces d'inèrcia són, per tant, térmens correctivos a les forces reals, que conseguixen que es puga aplicar de forma inalterada el formalisme de les lleis de Newton a fenomens que es descriuen sobre un sistema de referència no inercial.

Estes definicions tenen gran utilitat quan el context més natural o més pròxim per a la descripció d'un fenomen és una entitat que sofrix acceleració. En l'important cas particular d'entitats de referència que rotan (per eixemple la Terra), apareixen dos térmens de força fictícia que són coneguts com força centrífuga i força de Coriolis.

Les forces fictícies eixerciten un paper primordial en la Teoria General de la Relativitat (TGR). En esta teoria l'interacció gravitatoria s'explica com un efecte de la deformació del espai-temps deguda a la presència local de matèria i/o energia. Esta deformació té com a conseqüència que els sistemes de referència deixen de ser inerciales.

Archiu:Peugeot 206 caps block 11 .jpg

La variació de trayectòria o velocitat li succeïx al coche, i el passager només seguix el seu inèrcia (manté el seu estat de moviment).

Eixemple

El passager d'un automòvil, que pren este com a referència per a medir l'acceleració del seu propi cos, quan el vehícul frena o descriu una curva, sent una «força» que li espenta cap a davant o a un lateral, respectivament. En realitat lo que actua sobre el seu cos no és una força, sino l'inèrcia (causada per la velocitat de la massa) que fa que tinga tendència a mantindre la direcció i cantitat de moviment. Si en lloc de prendre com a referència el propi automòvil (sistema de referència no inercial) per a medir l'acceleració que sofrixen els seus ocupants, prenem com a referència el sol de la carretera (sistema de referència inercial), i determinem la trayectòria de l'automòvil, veem que la variació de velocitat li succeïx al coche i que el passager es llimita a seguir la seua inèrcia segons la primera llei de Newton.

Forces fictícies en mecànica newtoniana

Archiu:Moglf0901 Sistemas de referencia en rotación.jpg

Sistemes de referència en rotació relativa. Si el referencial XYZ és inercial, el referencial xyz serà no inercial.

En un sistema de referència no-inercial l'acceleració que posseïx un objecte té components que no són atribuibles a forces reals, a cap agent físic.

Aixina, l'acceleració d'una partícula en un sistema referencial fix o absolut $𝐚_{F}$ i en un sistema referencial mòvil o relatiu, $𝐚_{M}$ , estan relacionades per mig de l'expressió:

sent:

𝐚_{F}

l'acceleració de la partícula en el referencial fix

(acceleració absoluta).

𝐚_{M}

l'acceleració de la partícula en el referencial mòvil (acceleració relativa),

𝐚_{o}

l'acceleració de l'orige del referencial mòvil en

el referencial fix (arrastre de translació),

\dot{𝝎} \times 𝐫

l'acceleració tangencial (arrastre de rotació),

𝝎 \times (𝝎 \times 𝐫)

l'acceleració normal o centrífuga (arrastre de rotació),

2 𝝎 \times 𝐯_{M};

l'acceleració complementària o acceleració de Coriolis.

Si observem el moviment de la partícula des del referencial accelerat (no-inercial), deurem ser capaços d'escriure correctament les equacions del moviment en eixe mateix referencial. Açò és, deurem conéixer la forma del producte $m 𝐚_{M}$ en eixe referencial, sent $m$ la massa de la partícula.

És convenient començar escrivint l'equació del moviment en un referencial inercial; açò és,

a on $𝐅$ és la resultant de les forces reals que actuen sobre la partícula i $𝐚_{F}$ és l'acceleració de dita partícula respecte al referencial inercial. Com no sempre serà possible medir eixa acceleració, substituirem en [2] el valor de $𝐚_{F}$ dau per [1]:

d'a on podem obtindre l'equació del moviment en el referencial no-inercial sense més que aïllar en el segon membre el terme $m 𝐚_{M}$ , açò és,

de modo que a la força real $𝐅$ cal afegir-li unes forces fictícies o inerciales que apareixen en els referencials accelerats en raó de la seua falta de inercialidad. La força fictícia total en el referencial no-inercial és

i la força efectiva que actua sobre la partícula, des del punt de vista de l'observador no-inercial, és la suma de la força o forces reals i de la força fictícia o inercial total. D'esta manera, podem escriure l'equació del moviment en el referencial no-inercial en forma anàloga a com s'escriu en el referencial inercial, açò és

en

En l'expressió de la força fictícia total apareixen quatre térmens, o siga, quatre forces inerciales, relacionades en les acceleració $𝐚_{o}$ , $𝐚_{t}$ , $𝐚_{n}$ , i $𝐚_{C}$ , respectivament. La primera d'estes forces inerciales està relacionada en el moviment de translació accelerat del referencial mòvil respecte al fix, i serà nula, evidentment, si l'orige del referencial mòvil està en repòs en el referencial fix o es mou en velocitat constant en ell. La segona d'estes forces no rep cap nom especial i només apareix en els referencials en rotació no uniforme; la tercera i quarta, reben els noms de força centrífuga i de força de Coriolis, respectivament. Estes dos forces són de gran importància quan les observacions es realisen des d'un referencial lligat a la Terra (en rotació) i estan associades en la desviació de la plomada i de la trayectòria de proyectils de gran alcanç.

Veem que la "aparició" de les forces d'inèrcia es deu a una simple operació algebrica consistent en canviar de membre quatre térmens en l'expressió (3) per a passar a la (4). Eixos térmens que representaven productes de components de l'acceleració per la massa de la partícula, en canviar-los de membre "adquirixen" la categoria de forces, sense ser-ho, ya que no representen interacció alguna. D'ahí que siguen forces fictícies o falses.

En mecànica newtoniana, l'equació fonamental del moviment $𝐅 = m 𝐚$ només és d'aplicació en sistemes de referència inerciales. Quan resulta útil, convenient o inevitable tractar un problema en un sistema de referència no-inercial, per a mantindre la aplicabilidad de dita equació devem considerar junt en les forces reals les forces fictícies o d'inèrcia associades en la no-inercialidad del sistema de referència.

Forces fictícies en mecànica lagrangiana

La formulació lagrangiana de la mecànica clàssica té la virtut de que és aplicable sense modificacions a sistemes no inerciales. En mecànica lagrangiana pot donar-se una definició

intrínseca de sistema inercial: «Un sistema és no inercial quan la derivada temporal del moment generalisat, no depén de les velocitats.» Les forces fictícies són sempre térmens depenents de les velocitats, aixina donat un sistema de coordenades generalisades qualsevol les forces fictícies associades. El càlcul de les forces fictícies, és molt senzill usant la formulació lagrangiana, per a ilustrar-ho, considerem un sistema no-inercial usat per a descriure el moviment d'una partícula de massa m. El seu lagrangiano serà igual a l'energia cinètica que pot escriure's com:

Introduint este lagrangiano en les equacions del moviment de Euler-Lagrange

L'equació anterior de fet pot, usant la simetria del tensor mètric i usant la definició dels símbols de Christoffel es comprova que les forces fictícies són proporcionals a estes cantitats:

A on s'han definit els símbols de Christoffel com a partir de les derivades del tensor mètric i el tensor invers del tensor mètric:

Γ_{i j}^{k} : = \frac{1}{2} \sum_{p = 1}^{n} g^{k p} (\frac{\partial g_{p j}}{\partial x^{i}} + \frac{\partial g_{i p}}{\partial x^{j}} - \frac{\partial g_{i j}}{\partial x^{p}})

g^{i k} g_{k j} = g_{j k} g^{k i} = δ_{j}^{i}

Pot vore's clarament com la força fictícia apareix automàticament en el formalisme de Lagrange quan s'usa un sistema de coordenades no cartesianas. En un sistema de referència inercial associat a un sistema de coordenades cartesianas els símbols de Christoffel s'anulen, la qual cosa equival a que en dit sistema no cal considerar forces fictícies i l'equació de Euler-Lagrange del moviment es reduïx a la segona llei de Newton.

Referències

↑ (1962) Einstein's Theory of Relativity, New York: Courier Dover Publications, pp. 76–78. ISBN 0-486-60769-0.
↑ NASA notes:(23) Accelerated Frames of Reference: Inertial Forces
↑ (2006) The Feynman Lectures on Physics, Sant Francisco: Pearson/Addison-Wesley, Vol. I, section 12–5. ISBN 0-8053-9049-9.
↑ Cornelius Lanczos (1986). The Variational Principles of Mechanics, New York: Courier Dover Publications, p. 100. ISBN 0-486-65067-7.
↑ «Fictitious Forces». Consultat el 3 de setembre de 2007.

Este artícul conté una traducció derivada de «Fuerza ficticia» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Born-1] (1962) Einstein's Theory of Relativity, New York: Courier Dover Publications, pp. 76–78. ISBN 0-486-60769-0.

[2] NASA notes:(23) Accelerated Frames of Reference: Inertial Forces

[FEYN-3] (2006) The Feynman Lectures on Physics, Sant Francisco: Pearson/Addison-Wesley, Vol. I, section 12–5. ISBN 0-8053-9049-9.

[Lanczos1-4] Cornelius Lanczos (1986). The Variational Principles of Mechanics, New York: Courier Dover Publications, p. 100. ISBN 0-486-65067-7.

[5] «Fictitious Forces». Consultat el 3 de setembre de 2007.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]