Método de Runge-Kutta

En anàlisis numèric, els métodos de Runge-Kutta són un conjunt de métodos genèrics iterativos, explícits i implícits, de resolució numèrica d'equacions diferencials. Este conjunt de métodos va ser inicialment desenrollat al voltant de l'any 1900 pels matemàtics alemans C. Runge i M. W. Kutta.

Descripció

Els métodos de Runge-Kutta (RK) són un conjunt de métodos iterativos (implícits i explícits) per a l'aproximació de solucions d'equacions diferencials ordinàries, concretament, del problema de valor inicial.

Sean:

y^{'} (t) = f (t, y (t))

una equació diferencial ordinària, en $f : Ω \subset ℝ \times ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ a on $Ω$ és un conjunt obert, junt en la condició de que el valor inicial de ƒ siga

(t_{0}, y_{0}) \in Ω .

Llavors el método RK (d'orde s) té la següent expressió, en la seua forma més general:

y_{n + 1} = y_{n} + h \sum_{i = 1}^{s} b_{i} k_{i}

,

a on h és el pas per iteración, o lo que és lo mateix, l'increment $Δ t_{n}$ entre els successius punts $t_{n}$ i $t_{n + 1}$ . Els coeficients $k_{i}$ són térmens d'aproximació intermijos, evaluats en ƒ de manera local

k_{i} = f (t_{n} + h c_{i}, y_{n} + h \sum_{j = 1}^{s} a_{i j} k_{j}) i = 1, ..., s .

en $a_{i j}, b_{i}, c_{i}$ coeficients propis de l'esquema numèric elegit, dependent de la regla de quadratura utilisada. Els esquemes Runge-Kutta poden ser explícits o implícits depenent de les constants $a_{i j}$ de l'esquema. Si esta matriu és triangular inferior en tots els elements de la diagonal principal iguals a zero; és dir, $a_{i j} = 0$ per a $j = i, ..., s$ , els esquemes són explícits.

Eixemple

Esquema Runge-Kutta de dos etapes, una en $t = t_{n}$ i una atra en $t = t_{n} + Δ t_{n}$ . ƒ(t,i(t)) en la primera etapa és:

f_{n} = k_{1} = f (t_{n}, y_{n})

Per a estimar ƒ(t,i) en $t = t_{n} + Δ t_{n}$ s'usa un esquema taylor

f_{n + 1} = k_{2} = f (t_{n} + Δ t_{n}, y_{n} + Δ t_{n} k_{1}) .

En estos valors de ƒ, se substituïxen en l'equació

y_{n + 1} = y_{n} + \int_{t_{n}}^{t_{n + 1}} f (t, y (t)) d t,

de manera que s'obté l'expressió:

y_{n + 1} = y_{n} + \frac{Δ t_{n}}{2} (k_{1} + k_{2}) .

Els coeficients propis d'este esquema són: $b_{1} = b_{2} = 1 / 2; a_{21} = 1; c_{2} = 1.$

Variants

Existixen variants del método de Runge-Kutta clàssic, també cridat Runge-Kutta explícit, tals com la versió implícita del procediment o les parelles de métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg).

Este últim consistix en anar aproximant la solució de l'equació per mig de dos algoritmes Runge-Kutta d'órdens diferents, per a aixina mantindre l'error acotat i fer una bona elecció de pas.

Métodos de Runge-Kutta

El método de Runge-Kutta no és només un únic método, sino una important família de métodos iterativos, tant implícits com a explícits, per a aproximar les solucions d'equacions diferencials ordinàries (E.D.O´s); estes tècniques varen ser desenrollades al voltant de 1900 pels matemàtics alemans Carl David Tolmé Runge i Martin Wilhelm Kutta.

Métodos de Runge-Kutta de quart orde

Un membre de la família dels métodos Runge-Kutta usat àmpliament és el de quart orde. És usat tant que a sovint és referenciado com «RK4» o com «el método Runge-Kutta».

Definint un problema de valor inicial com:

y^{'} = f (x, y), y (x_{0}) = y_{0}

Llavors el método RK4 per a este problema està donat per la següent equació:

y_{i + 1} = y_{i} + \frac{1}{6} h (k_{1} + 2 k_{2} + 2 k_{3} + k_{4})

A on

{\begin{matrix} k_{1} & = f (x_{i}, y_{i}) \\ k_{2} & = f (x_{i} + \frac{1}{2} h, y_{i} + \frac{1}{2} k_{1} h) \\ k_{3} & = f (x_{i} + \frac{1}{2} h, y_{i} + \frac{1}{2} k_{2} h) \\ k_{4} & = f (x_{i} + h, y_{i} + k_{3} h) \end{matrix}

Aixina, el següent valor (i_n+1) és determinat pel present valor (i_n) més el producte del tamany de l'interval (h) per una pendent estimada. La pendent és un promig ponderat de pendents, a on $k_{1}$ és la pendent al principi de l'interval, $k_{2}$ és la pendent en el punt mig de l'interval, usant $k_{1}$ per a determinar el valor de i en el punt $x_{n} + \frac{h}{2}$ usant el método de séries de Taylor. $k_{3}$ és una atra volta la pendent del punt mig, pero ara usant $k_{2}$ per a determinar el valor de i; $k_{4}$ és la pendent al final de l'interval, en el valor de i determinat per $k_{3}$ . Promediando les quatre pendents, se li assigna major pes a les pendents en el punt mig:

pendiente = \frac{k_{1} + 2 k_{2} + 2 k_{3} + k_{4}}{6} .

Esta forma del método de Runge-Kutta, és un método de quart orde la qual cosa significa que l'error per pas és de l'orde de $O (h^{5})$ , mentres que l'error total acumulat té l'orde $O (h^{4})$ . Per lo tant, la convergència del método és de l'orde de $O (h^{4})$ , raó per la qual és usat en els métodos computacionals.

Vore també

Referències

J. Arrieta, R. Ferreira, R. Pardo i A. Rodríguez-Bernal. "Anàlisis Numèric d'Equacions Diferencials Ordinàries". Paraninfo, Madrit, 2020. ISBN 9788428344418, ISBN 8428344418.

Ascher, Uri M.; Petzold, {{{nom2}}} (1998). Computer methods for ordinary differential equations and differential-algebraic equations, 1ª edició (en anglés), Philadelphia (USA): SIAM. ISBN 0898714125.

Richard L. Burden, J. Douglas Faires (2001). 7 (ed.). Anàlisis Numèric, Cengage Learning Latin America. ISBN 9706861343.

Este artícul conté una traducció derivada de «Método de Runge-Kutta» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.