Método de Euler

Ilustració del método de Euler. La curva desconeguda està en blava, i la seua aproximació poligonal en roig.

En matemàtica i computació, el método de Euler, cridat aixina en honor a Leonhard Euler, és un procediment d'integració numèrica per a resoldre equacions diferencials ordinàries (EDO) a partir d'un valor inicial dau. El método de Euler és el més simple dels métodos numèrics per a resoldre un problema de valor inicial, i el més simple dels Métodos de Runge-Kutta. El método de Euler és nomenat per Leonhard Euler, qui ho va tractar en el seu llibre Institutionum calculi integralis (publicat en 1768-1770).

El método de Euler és un método de primer orde, lo que significa que l'error local és proporcional al quadrat del tamany del pas, i l'error global és proporcional al tamany del pas. El método de Euler regularment servix com a base per a construir métodos més complexos.

Descripció informal

Considere el problema de calcular la pendent d'una curva desconeguda que comença en un punt donat i satisfà una certa equació diferencial donada. Es pot pensar en l'equació diferencial com una fòrmula que nos permet calcular la pendent de la recta tangente a la curva en qualsevol punt de la curva, una volta que el punt ha segut calculat.

L'idea és que a pesar de que la curva és desconeguda en un principi, el seu punt de començ, al com denotem per A₀, és conegut. Llavors, de l'equació diferencial es pot calcular la pendent de la curva en el punt A₀ i per lo tant la recta tangente a la curva.

Ara, donant un chicotet pas sobre dita recta, podem prendre-nos un nou punt A₁ i supondre que dit punt pertany a la curva, llavors seguim el mateix raonament aplicat anteriorment i tornem a calcular la pendent de la recta tangente a la curva en el punt A₁. Després de varis passos tindrem formada una curva poligonal A₀A₁A₂A₃... En general esta curva que obtenim en aplicar el método no divergix llunt de la curva original, ademés l'error entre abdós curves es pot minimisar si es donen passos molt menuts en alvançar sobre la recta tangente a la curva i ademés l'interval sobre el que treballem és finito (encara que les coses són més complicades per a equacions inestables, com es discutix més avall)...

Procediment

Consistix en dividir els intervals que va de $x_0$ a $x_f$ en $n$ subintervalos d'ample $h$; o siga:

$h=\frac{x_f-x_0}{n}$

de manera que s'obté un conjunt discret de $n+1$ punts: $x_0,x_1,x_2,\cdots ,x_n$ de l'interval d'interés $[x_0,x_f]$. Per a qualsevol d'estos punts es complix que:

$x_i=x_0+ih0\le i\le n$.

La condició inicial $y(x_0)=y_0$, representa el punt $P_0=(x_0,y_0)$ per a on pansa la curva solució de l'equació del plantejament inicial, la qual es denotarà com $F(x)=y$. Ya tenint el punt $P_0$ es pot evaluar la primera derivada de $F(x)$ en eixe punt; per lo tant:

$F^{\prime }(x)={\frac{dy}{dx}|}_{P_0}=f(x_0,y_0)$

Gràfica A.

En esta informació es traça una recta, aquella que passa per $P_0$ i de pendent $f(x_0,y_0)$. Esta recta aproxima $F(x)$ en un veïnat de $x_0$. Prenga's la recta com a tongada de $F(x)$ i localise's en ella (la recta) el valor de $y$ corresponent a $x_1$. Llavors, podem deduir segons la Gràfica A:

$\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=f(x_0,y_0)$

Es resol per a $y_1$:

$y_1=y_0+(x_1-x_0)f(x_0,y_0)=y_0+hf(x_0,y_0)$

És evident que l'ordenada $y_1$ calculada d'esta manera no és igual a $F(x_1)$, puix existix un chicotet error. No obstant, el valor $y_1$ servix per a que s'aproxime $F^{\prime }(x)$ en el punt $P=(x_1,y_1)$ i repetir el procediment anterior a fi de generar la successió d'aproximacions següent:

Bibliografia

• J. Arrieta, R. Ferreira, R. Pardo i A. Rodríguez-Bernal. "Anàlisis Numèric d'Equacions Diferencials Ordinàries". Paraninfo, Madrit, 2020. ISBN 9788428344418, ISBN 8428344418.