Problema de Cauchy

En equacions diferencials un problema de Cauchy (en alguns casos també cridat problema de valor inicial) consistix en resoldre una equació diferencial subjecta a unes certes condicions de frontera o valors inicials sobre la solució quan una de les variables que la definixen, pren un determinat valor (usualment, t=0, per a modelar les condicions del sistema en l'instant inicial). Un problema de Cauchy pot ser un problema de valor inicial o un problema de condició de frontera. El seu nom es deu a Augustin Louis Cauchy.

Formulació del problema

Per a una equació diferencial en derivades parcials definida sobre Rⁿ i una varietat suau S ⊂ Rⁿ de dimensió n − 1 (S es denomina superfície de Cauchy), el problema de Cauchy consistix de trobar la solució o de l'equació diferencial d'orde $m$ que satisfà

a on $f_k$ són funcions donades definides sobre la superfície $S$ (molt conegudes com a senyes de Cauchy del problema), i n és el vector normal a S.

El problema de Cauchy en equacions diferencials ordinàries, està referit al conjunt de valors inicials que deuen conéixer-se per a determinar en unicitat l'estructura de la solució de l'equació o d'un sistema d'equacions diferencials ordinàries de qualsevol orde que anaren, est és el cas del problema en valors inicials.

Para equacions diferencials llineals el problema de Cauchy està resolt ya que es pot garantisar l'existència i unicitat de la solució si les funcions que definixen el problema són diferenciables en continuïtat.

Teorema de Cauchy–Kowalevski

El teorema de Cauchy–Kowalevski diu que els problemes de Cauchy tenen solució única baixe certes condicions, la més important és que les senyes de Cauchy i els coeficients de l'equació diferencial en derivades parcials són funcions analítiques.

Referències

• (2003).«Lectures on Cauchy's Problem in Linear Partial Differential Equations».Dover Publications.