Equació diferencial de Bernoulli

La equació diferencial de Bernoulli és una equació diferencial ordinària de primer orde, formulada per Jacob Bernoulli. Esta equació va ser transformada, per Gottfried Leibniz en 1693 i per Johann Bernoulli en 1697, en una equació diferencial llineal de primer orde per mig del canvi de variable $y^{1-\alpha }=v$, esta equació és de la forma

$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{\alpha }$$

a on $P(x)$ i $Q(x)$ són funcions contínues en un interval obert $(a,b)\subseteq ℝ$ en $\alpha \in ℝ$.

Solució

Case general ($\alpha \ne 0,1$)

Dividim l'equació diferencial entre $y^{\alpha }$ i obtenim

$\frac{1}{y^{\alpha }}\frac{dy}{dx}+P(x)\frac{y}{y^{\alpha }}=Q(x)$

o, equivalentemente

$\frac{1}{y^{\alpha }}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-\alpha }=Q(x)$

Definint $z=y^{1-\alpha }$ obtenim les igualtats

$\begin{array}{cc}\frac{dz}{dx}& =(1-\alpha )y^{-\alpha }\frac{dy}{dx}=\frac{1-\alpha }{y^{\alpha }}\frac{dy}{dx}\end{array}$

o

$\frac{1}{1-\alpha }\frac{dz}{dx}=\frac{1}{y^{\alpha }}\frac{dy}{dx}$

Reemplaçant en l'equació diferencial

$\frac{1}{1-\alpha }\frac{dz}{dx}+P(x)z=Q(x)$

$\frac{dz}{dx}+(1-\alpha )P(x)z=(1-\alpha )Q(x)$

Equació que resulta ser una equació diferencial llineal la solució de la qual està donada per

$z=e^{-(1-\alpha )\int P(x)dx}(\int e^{(1-\alpha )\int P(x)dx}(1-\alpha )Q(x)dx+C)$

a on $C\in ℝ$ és una constant arbitrària, com $z=y^{1-\alpha }$ llavors

$y^{1-\alpha }=e^{-(1-\alpha )\int P(x)dx}((1-\alpha )\int e^{(1-\alpha )\int P(x)dx}Q(x)dx+C)$

Finalment

$y=\sqrt[1-\alpha ]{e^{-(1-\alpha )\int P(x)dx}((1-\alpha )\int e^{(1-\alpha )\int P(x)dx}Q(x)dx+C)}$

$y=e^{-\int P(x)dx}\left[\sqrt[1-\alpha ]{(1-\alpha )\int e^{(1-\alpha )\int P(x)dx}Q(x)dx+C}\right]$

Casos particulars

Quan $\alpha =0$ llavors l'equació

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{\alpha }$

es reduïx a l'equació

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$

la solució del qual està donada per

$y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$

Quan $\alpha =1$ llavors l'equació

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{\alpha }$

es reduïx a

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y$

que pot resoldre's per mig de variables separables, dita solució està donada per

$\ln y=\int (Q(x)-P(x))dx+C$

Eixemple

Per a resoldre l'equació:

Es fa el canvi de variable $z=y^{-2}$, que introduït en (*) dona simplement:

Multiplicant l'equació anterior pel factor: $\frac{2y}{x};$ s'aplega a:

Si se substituïx (**) en l'última expressió i operant:

Que és una equació diferencial llineal que pot resoldre's fàcilment. Primerament es calcula el factor integrant típic de l'equació de Bernouilli:

I es resol ara l'equació:

Desfent ara el canvi de variable:

Tenint en conte que el canvi que vàrem fer va ser $z=y^{-2}$:

Vore també

• Equació Diferencial de Primer Orde
• Equació Diferencial Ordinària
• Equació Diferencial
• Equació Diferencial Llineal
• Bernoulli

Bibliografia

• Spiegel, Murray R. (1992). McGraw-Hill (ed.). Fòrmules i taules de matemàtica aplicada, Aravaca (Madrit). ISBN 84-7615-197-7.