Funció de Bessel

Funció de Bessel

Les funcions de Bessel descriuen la part radial de vibracions d'una membrana circular.

En matemàtiques, les funcions de Bessel, primer definides pel matemàtic Daniel Bernoulli i més vesprada generalisades per Friedrich Bessel, són solucions canòniques i(x) de l'equació diferencial de Bessel:

a on $\alpha$ és un número natural, sancer, racional, irracional, algebraic, transcendent, computable, real o complex. El cas més comú és quan $\alpha$ és un sancer $n$, encara que la solució per a $\alpha$ no sancer és similar. El número $\alpha$ es denomina orde de les funcions de Bessel associades a dita equació.

Ya que l'equació anterior és una equació diferencial de segon orde, té dos solucions linealment independents.

Encara que $\alpha$ i $-\alpha$ donen com resultat la mateixa funció, és convenient definir diferents funcions de Bessel per a estos dos paràmetros, puix les funcions de Bessel en funció del paràmetro $\alpha$ són funcions suaus casi doquier. Les funcions de Bessel es denominen també funcions cilíndriques, o harmònics cilíndrics perque són solució de l'equació de Laplace en coordenades cilíndriques.

Aplicacions

L'Equació de Bessel apareix quan es busquen solucions a l'equació de Laplace o a l'equació de Helmholtz pel método de separació de variables en coordenades cilíndriques o esfèriques. Per això, les funcions de Bessel són especialment importants en molts problemes de propagació d'ones, potencials estàtics i qualsevol atre problema descrit per les equacions de Helmholtz o Laplace en simetria cilíndriques o esfèriques. Quan es resolen sistemes en coordenades cilíndriques, s'obtenen funcions de Bessel d'orde sancer ($\alpha =n$) i en problemes resolts en coordenades esfèriques, s'obtenen funcions de Bessel d'orde semientero ($\alpha =n+1/2$), per eixemple:

• Ones electromagnètiques en guies d'ona cilíndriques
• Modos travessers electromagnètics en guies òptiques
• Conducció de la calor en objectes cilíndrics
• Modos de vibració d'una membrana prima circular (o en forma d'anell)
• Difusió en una ret.

També s'usen funcions de Bessel en un atre tipo de problemes com en processament de senyals, generació de l'espectre d'una senyal en modulació de freqüència i de fase en RF, propagació d'ones llargues en ingenieria marítima i en problemes que tinguen equacions diferencials en derivades parcials.

Funcions de Bessel ordinàries

Les funcions de Bessel ordinàries d'orde $\alpha$, cridades simplement funcions de Bessel d'orde $\alpha$ són solucions de l'equació de Bessel (1). La solució de tal equació s'expressa aixina:

a on $A$ i $B$ són constants que es determinen a partir de les condicions inicials. Per lo que s'observa de l'igualtat anterior, existixen dos formes simples d'expressar la solució general de l'equació diferencial de Bessel en paràmetro $\alpha$, que estan associades a les funcions de Bessel ordinàries de primera i de segona espècie.

Funcions de Bessel de primera espècie: $J_{\alpha }$

Les funcions de Bessel de primera espècie i orde $\alpha$ són les solucions de l'equació diferencial de Bessel que són finitas en l'orige ($x=0$) para no sancers no negatius $\alpha$ i divergixen en el llímit $x\to 0$ per a $\alpha$ negatiu no sancer. El tipo de solució i la normalisació de $J_{\alpha }(x)$ estan definits per les seues propietats avall indicades. És possible definir la funció $J_{\alpha }(x)$ per la seua expansió en série de Taylor entorn a $x=0$, la qual pot trobar-se aplicant el método de Frobenius a l'equació de Bessel:

$\Gamma (z)$ és la funció Gamma de Euler, una generalisació del factorial per a número complejo.

L'equació (2) també es pot expressar en forma equivalent com:

(3) $J_{\alpha }(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{k!(k+\alpha )!}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2k+\alpha }$

sempre que el número $\alpha$ siga sancer.

En estes funcions es complix que:

• Si $\alpha \notin \mathbb{Z}$, llavors $J_{\alpha }(x)$ i $J_{-\alpha }(x)$ són linealment independents, i per tant una solució general de l'equació de Bessel pot expressar-se com una combinació llineal d'elles.
• Si $\alpha =n\in \mathbb{Z}$, llavors es complix que:

per lo que les dos solucions deixen de ser linealment independents. En este cas, la segona solució linealment independent serà una funció de Bessel de segona espècie.

Les funcions de Bessel són funcions oscilatòries (com les funciones sen o coseno) que decauen proporcionalment a $1/\sqrt{x}$, com es mostra en el gràfic anex en la forma asintòtica d'estes funcions, encara que els zeros d'estes funcions no són, en general, periòdics, llevat de forma asintòtica per a grans valors de $x$.

Archiu:Bessel Functions (1st Kind, n%3 caps block 2 %2 caps block 3 %2 caps block 4 ).svg

Funcions de Bessel de primera espècie, J_α(x), per a órdens sancers α=0,1 i 2

Com a casos particulars, es tenen les dos primeres funcions de Bessel sanceres:

$J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2{4}^2}-\frac{x^6}{2^2{4}^2{6}^2}\dots$

$J_1(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^3}{2^{2}4}+\frac{x^5}{2^2{4}^{2}6}-\frac{x^7}{2^2{4}^2{6}^{2}8}\dots$

$J{\text{'}}_0(x)=\frac{d{J}_0(x)}{dx}=-J_1(x)$

Integrals de Bessel

Per a valors sancers de $n$, es té la següent representació integral:

$J_n(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (n\tau -x\sin \tau )\mathrm{d}\tau .$

Que també es pot escriure com:

$J_n(x)=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{e}^{-\mathrm{i}(n\tau -x\sin \tau )}\mathrm{d}\tau .$

Esta és la forma usada per Bessel en el seu estudi d'estes funcions, i a partir d'esta definició va deduir vàries propietats de les mateixes. Esta definició integral pot estendre's a órdens no sancers afegint un atre terme integral:

$J_{\alpha }(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (\alpha \tau -x\sin \tau )d\tau -\frac{\sin (\alpha \pi )}{\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x\sinh (t)-\alpha t}dt.$

També es té, per a $\alpha >-\frac{1}{2}$

$J_{\alpha }(x)=\frac{1}{\Gamma (\alpha +\frac{1}{2})\sqrt{\pi }{2}^{\alpha -1}}\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x^2-{\tau }^2{)}^{\alpha -\frac{1}{2}}\cos \tau d\tau .$

Relació en les séries hipergeométricas

Les funcions de Bessel són un cas especial de funció hipergeométrica

$J_{\alpha }(x)=\frac{(x/2{)}^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}{}_0{F}_1(\alpha +1;-x^2/4).$

Esta fòrmula està relacionada en l'expansió de les funcions de Bessel en funció de la funció de Bessel–Clifford.

Relació en els polinomis de Laguerre

Les funcions de Bessel poden expandir-se en série de polinomis de Laguerre $L_k$ per a qualsevol paràmetro $t$ arbitrari com

$\frac{J_{\alpha }(x)}{{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\alpha }}=\frac{e^{-t}}{\Gamma (\alpha +1)}\sum _{k=0}\frac{L_k^{(\alpha )}\left(\frac{x^2}{4t}\right)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+\alpha }{k})}\frac{t^k}{k!}.$

Funcions de Bessel de segona espècie: $Y_{\alpha }$

Les funcions de Bessel de segona espècie, denotades per $Y_{\alpha }(x)$, són solucions de l'equació diferencial de Bessel, Estes funcions divergixen en l'orige, és dir $x=0$.

Funcions de Bessel de segona espècie, I_α(x), per a órdens α=0,1,2

A estes funcions $Y_{\alpha }(x)$ també se'ls crida a voltes funcions de Neumann o de Weber, i a voltes es denoten per $N_{\alpha }(x)$. Per a números $\alpha$no sancers, es definixen a partir de les funcions de primera espècie $J_{\alpha }(x)$ per mig de la següent fòrmula:

En el cas en el que tingam un orde sancer n, la funció és definida com el següent llímit:

que proporciona el següent resultat en forma integral:

Per al cas en el que tingam un $\alpha$ no sancer, la definició de $Y_{\alpha }(x)$ és redundante (com queda clar per la seua definició de dalt). Per un atre costat, quan $\alpha$ és sancer, $Y_{\alpha }(x)$ és la segona solució linealment independent de l'equació de Bessel, ademés, de forma similar a lo que ocorria en les funcions de primera espècie, es complix que:

Abdós $J_{\alpha }(x)$ i $Y_{\alpha }(x)$ són funcions holomorfas de $x$ en el pla complex tallat per l'eix real negatiu. Quan $\alpha$és un sancer, no hi ha punts de ramificació, i les funcions de Bessel són funcions sanceres de x. Si fixem x, llavors les funcions de Bessel són funcions sanceres respecte a la variable $\alpha$.

Vore també

• Funció de Bessel–Clifford
• Polinomis de Bessel
• Propagador
• Série de Fourier–Bessel
• Funció de Struve
• Funcions de Kelvin
• Funcions de Lommel
• Polinomi de Lommel

Referències

Bibliografia

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 9", Handbook of Mathematical Functions with Formules, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 355, MR0167642, ISBN 978-0-486-61272-0, See also chapter 10.
• Arfken, George B. and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6th edition (Harcourt: Sant Diego, 2005). ISBN 0-12-059876-0.
• Bayin, S.S. Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, 2006, Chapter 6.
• Bayin, S.S., Essentials of Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, 2008, Chapter 11.
• Bowman, Frank Introduction to Bessel Functions (Dover: New York, 1958). ISBN 0-486-60462-4.
• G. Mie, "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metallösungen", Ann. Phys. Leipzig 25 (1908), p. 377.
• Olver, F. W. J.; Maximon, L. C. (2010), "Bessel function", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F. et al., NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5
• B Spain, M.G. Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 9 deals with Bessel functions.
• Watson, G.N., A Treatise on the Theory of Bessel Functions, Second Edition, (1995) Cambridge University Press. ISBN 0-521-48391-3.