Vibracions d'una membrana circular

Archiu:Drum vibration mode12.gif

Un dels possibles modos de vibració d'una membrana circular idealizada

Les vibracions d'una membrana circular idealizada, essencialment una membrana elàstica de gruixa uniforme fixada a un marc circular rígit, existixen solucions de l'equació d'ona en condicions de contorn nules.

Existix un número infinit de formes en les quals la membrana pot vibrar, depenent de la forma de la deformació de la membrana en un cert instant de temps inicial i de la derivada de la forma de la membrana en l'instant inicial. Utilisant el método de separació de variables, és possible trobar un conjunt de modos de vibració simples, i es pot demostrar que qualsevol vibració complexa arbitrària d'una membrana pot ser descomposta en una série de vibracions simples (anàlogues a les série de Fourier).

Motivació

L'anàlisis del problema de la membrana vibrant permet explicar el funcionament d'instruments de percussió tals com els tamborés i timbalés. No obstant, existix també una aplicació biològica en explicar el funcionament del tímpan. Des d'un punt de vista educatiu els modos d'un objecte bidimensional són una forma convenient de visualment demostrar el significat de modos, nodos, antinodo i encara els números quàntics. Estos conceptes són importants per a la comprensió de l'estructura de l'àtom.

El problema

Considere's un disc de $\Omega$ de radi $a$ centrat en l'orige, el qual representa la forma queta de la membrana del tambor. En tot instant $t,$ l'elevació de la forma de la membrana en un punt $(x,y)$ en $\Omega$ medit a partir de la forma queta de la membrana s'escriurà com $u(x,y,t),$ el qual pot prendre tant valors positius com a negatius. Cridem $\partial \Omega$ la frontera de $\Omega ,$ és dir, el círcul de radi $a$ centrat en l'orige, que representa el marc rígit al com es troba fixada la membrana.

L'equació matemàtica que governa la vibració de la membrana és l'equació d'ona en condicions de contorn nules,

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2})\text{ para }(x,y)\in \Omega$

$u=0\text{ en }\partial \Omega .$

A causa de la geometria circular de $\Omega$, serà convenient utilisar coordenades cilíndriques, $(r,\theta ,t).$ Llavors, l'equació prèvia s'expressa com

$\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=c^2(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial {\theta }^2})\text{ para }0\le r<a,0\le \theta \le 2\pi$

$u=0\text{ para }r=a.$

A on, $c$ és una constant positiva, que és la velocitat a la qual les ones de vibració travessera es propaguen en la membrana. En funció dels paràmetros físics, la velocitat d'ona c, queda expressada com

$c=\sqrt{\frac{N_{rr}^{*}}{\rho h}}$

Símbol	Nom
$N_{rr}^{*}$	Resultant radial de la membrana en la frontera de la membrana ($r=a$)
$h$	Gruixa de la membrana
$\rho$	Densitat de la memebrana

Si la membrana posseïx una tensió uniforme, la força de la tensió uniforme en un radi donat, $r$ queda expressada com

$F=r{N}_{rr}^r=r{N}_{\theta \theta }^r$

a on $N_{\theta \theta }^r=N_{rr}^r$ és la resultant de la membrana en la direcció assimutal.

Vore també

• Ernst Chladni
• Corda vibrant

Referències

• H. Asmar, Nakhle (2005). Partial differential equations with Fourier séries and boundary value problems, Upper Saddle River, N.J.: Pearson Prentice Hall, p. 198. ISBN 0-13-148096-0.