Série de Fourier

Una série de Fourier és una série infinita que convergix puntualment a una funció periòdica i contínua. Pot ser sol a trossos de funcions (per parts), pero contínua en eixes parts. Les séries de Fourier constituïxen la ferramenta matemàtica bàsica de l'anàlisis de Fourier amprat per a analisar funcions periòdiques a través de la descomposició de dita funció en una suma infinita de funcions sinusoidals molt més simples (com a combinació de sens i cosenos en freqüències sanceres). El nom es deu al matemàtic francés Jean-Baptiste Joseph Fourier, que va desenrollar la teoria quan estudiava l'equació de la calor. Va ser el primer que va estudiar tals séries sistemàticament, i va publicar els seus resultats inicials en 1807 i 1811. Esta àrea d'investigació es diu algunes voltes anàlisis harmònic.

És una aplicació usada en moltes branques de l'ingenieria, ademés de ser una ferramenta sumament útil en la teoria matemàtica abstracta. Les seues àrees d'aplicació inclouen anàlisis vibratorio, acústica, òptica, processament d'imàgens i senyals, i compressió de senyes. En ingenieria, per al cas dels sistemes de telecomunicacions, i a través de l'us dels components espectrals de freqüència d'una senyal donada, es pot optimisar el disseny d'un sistema per a la senyal portadora del mateix. Referixca's a l'us d'un analisador d'espectre.

Les séries de Fourier tenen la forma:

\frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} [a_{n} \cos \frac{2 n π}{T} t + b_{n} sen \frac{2 n π}{T} t]

a on $a_{n}$ i $b_{n}$ es denominen coeficients de Fourier de la série de Fourier de la funció $f (t)$ .

Definició

Siga $f (t)$ una funció de variable real $t$ , que és integrable Riemann en l'interval $[t_{0} - T / 2, t_{0} + T / 2]$ , llavors es pot obtindre el desenroll en série de Fourier de $f$ dit interval. Fòra de l'interval la série és periòdica, en periodo $T$ .

Si $f (t)$ és periòdica en tota la recta real, l'aproximació per séries de Fourier també serà vàlida en tots els valors de $t$ .

Després la série de Fourier associada a $f (t)$ és:

f (t) \sim \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} [a_{n} \cos (\frac{2 n π}{T} t) + b_{n} sen (\frac{2 n π}{T} t)]

a on $a_{0}$ , $a_{n}$ i $b_{n}$ són els coeficients de Fourier que prenen els valors:

a_{0} = \frac{2}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} f (t) d t, a_{n} = \frac{2}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} f (t) \cos (\frac{2 n π}{T} t) d t, b_{n} = \frac{2}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} f (t) sen (\frac{2 n π}{T} t) d t .

Una atra forma de definir la série de Fourier és:

f (t) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} (a_{n} \cos ω_{n} t + b_{n} sen ω_{n} t)

a on $ω_{n} = n ω$ i $ω = 2 π f = \frac{2 π}{T}$ sent:

a_{0} = \frac{2}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} f (t) d t, a_{n} = \frac{2}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} f (t) \cos ω_{n} t d t, b_{n} = \frac{2}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} f (t) sen ω_{n} t d t .

a esta forma de la série de Fourier se li coneix com la série trigonométrica de Fourier.

Forma complexa

Per la fòrmula de Euler, les fòrmules de dalt poden expressar-se també en la seua forma complexa:

f (t) \sim \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} e^{2 π i \frac{n}{T} t} .

Els coeficients ara serien:

c_{n} = \frac{1}{T} \int_{- T / 2}^{T / 2} f (t) e^{- 2 π i \frac{n}{T} t} d t .

Teorema de Dirichlet: Convergència a una funció periòdica

Artícul principal → Teorema de Dirichlet (séries de Fourier).

Supongam que $f (x)$ és una funció periòdica, contínua a trossos i acotada, que en un periodo té un número finito de màxims i mínims locals i un número finito de discontinuïtats, de periodo $2 p$ . Sean

a_{n} = \frac{1}{p} \int_{- p}^{p} f (x) \cos \frac{n π x}{p} d x,

i

b_{n} = \frac{1}{p} \int_{- p}^{p} f (x) sen \frac{n π x}{p} d x,

llavors la série convergix a

f_{p} (x) = \frac{1}{2} (f (x +) + f (x -)),

a on

f (x +) = \lim_{t \to x +} (f (t))

, i

f (x -) = \lim_{t \to x -} (f (t))

Història

Les séries de Fourier reben el seu nom en honor a Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), que va fer importants contribucions a l'estudi de les séries trigonométricas, que prèviament havien segut considerades per Leonhard Euler, Jean li Rond d'Alembert i Daniel Bernoulli.^{[lower-alpha 1]} Fourier va introduir les séries en el propòsit de resoldre l'equació de conducció de la calor en una làmina de metal publicant els seus resultats en 1807 Mémoire sur la propagation de la chaleur dans els corps solides ('Memòria sobre la propagació de la calor en els cossos sòlits'), i publicant el seu Théorie analytique de la chaleur ('Teoria analítica de la calor') en 1822. Idees prèvies en descompondre una funció periòdica en la suma de simples funcions d'oscilació daten des de el III, quan astrònoms antics varen propondre un model empíric de moviment planetari en base en epiciclo.

L'equació de la calor és una equació en derivades parcials. Prèviament al treball de Fourier, no es coneixia solució alguna per a l'equació de calor en forma general, encara que es coneixien solucions particulars si la font de calor es comportava de manera senzilla, en particular, si la font era una ona de sen o coseno. Estes solucions simples a voltes són cridades valors propis. L'idea de Fourier era modelar una font de calor complexa en una superposició (o combinació llineal) de simples ones sinusoidals i per a escriure la solució com una superposició dels corresponents valors propis. A la superposició o combinació llineal se li crida Série de Fourier.

Des d'un punt de vista més actual, els resultats de Fourier són alguna cosa informals per la falta de precisió en la noció de la funció matemàtica i l'integració a inicis de el XIX. Despuix, Peter Gustav Lejeune Dirichlet^[1] i Bernhard Riemann^[2]^[3]^[4] varen expressar els resultats de Fourier en major precisió i formalitat.

Encara que el motiu original era resoldre l'equació de calor, temps despuix va ser obvi que es podia usar la mateixa tècnica a un gran conjunt de problemes físics i matemàtics, especialment aquells que involucraven equacions diferencials llineals en coeficients constants, per als quals les seues solucions úniques eren sinusoidals. Les séries de Fourier tenen moltes aplicacions en l'ingenieria elèctrica, anàlisis de vibracions, acústica, òptica, processament de senyals, retoc fotogràfic, mecànica quàntica, econometria,^[5] la teoria d'estructures en cascarón prim,^[6] etc.

Eixemples de séries de Fourier

Erro al crear miniatura:

Animació de la suma dels 5 primers harmònics.

Vejam un eixemple:

f (x) = x, p a r a - π < x < π,

f (x + 2 π) = f (x), p a r a - \infty < x < \infty .

En este cas, els coeficients de Fourier nos donen açò:

\begin{matrix} a_{n} & = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} x \cos (n x) d x = 0, n \geq 0. \\ b_{n} & = \frac{1}{π} \int_{- π}^{π} x sen (n x) d x = - \frac{2}{n} \cos (n π) = 2 \frac{(- 1)^{n + 1}}{n}, n \geq 1 \end{matrix}

Si la série de Fourier convergix cap a: $f (x)$ de cada punt $x$ a on $f$ és diferenciable:

\begin{matrix} f (x) & = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} [a_{n} \cos (n x) + b_{n} sen (n x)] \\ = 2 \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n + 1}}{n} sen (n x), p a r a x - π \notin 2 π ℤ . \end{matrix}

Ingenieria

En ingenieria, l'anàlisis de senyals en el domini de la freqüència es realisa a través de les séries de Fourier, por cuanto és molt comuna, reemplaçar la variable $x$ per ωt (el producte de la freqüència angular pel temps), resultant les components:

C_{k} = \frac{1}{T} \int_{t_{1}}^{t_{2}} f (t) e^{- j ω k t} d t

Per lo tant:

f (t) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} C_{k} e^{j ω k t}

Formulació

Forma compacta

En ocasions és més útil conéixer l'amplitut i la fase en térmens cosinusoidales en lloc de amplitut cosinusoidales i sinusoidal. Una atra forma d'expressar la complexa forma de la série de Fourier és:

f (t) = A_{0} + \sum_{n = 1}^{\infty} A_{n} \cos (ω_{n} t - θ_{n})

a on

A_{0} = \frac{a_{0}}{2}

A_{n} = \sqrt{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}}

θ_{n} = \tan^{- 1} \frac{b_{n}}{a_{n}}

Forma exponencial

Per l'identitat de Euler per a l'exponencial complexa, operant adequadament, si

C_{n} = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) e^{- i n x} d x

la série de Fourier es pot expressar com la suma de dos séries:

\sum_{n = 1}^{\infty} C_{- n} e^{- i n x} + \sum_{n = 0}^{\infty} C_{n} e^{i n x}

En forma més compacta:

\sum_{n = - \infty}^{\infty} C_{n} e^{i n x}

estes equacions solament són vàlides quan el periodo $T = 2 π$ en $ω = 1$ . Una atra forma d'expressar la forma complexa de la série de Fourier és:

f (t) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} c_{n} e^{j ω_{n} t}

a on

c_{0} = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} f (t) d t = \frac{a_{0}}{2}

c_{n} = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} f (t) e^{- j ω_{n} t} d t = \frac{1}{2} (a_{n} - j b_{n})

c_{- n} = \frac{1}{T} \int_{t_{0}}^{t_{0} + T} f (t) e^{j ω_{n} t} d t = \frac{1}{2} (a_{n} + j b_{n})

| c_{n} | = \frac{1}{2} \sqrt{a_{n}^{2} + b_{n}^{2}}

Formulació moderna

Realment el desenroll en série de Fourier es fa per a funcions de quadrat integrable, és dir, per a funcions que complixquen que:

\int_{- \infty}^{\infty} | f (x) |^{2} d x < \infty

El conjunt de totes les funcions integrables definides en l'interval $[- π, π]$ es denota en $L^{2} ([- π, π])$ . Este conjunt, té definit un producte intern dau per:

⟨ f, g ⟩ \overset{d e f}{=} \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} f (x) \overline{g (x)} d x .

que ho dota d'estructura d'espai de Hilbert. D'esta manera, totes les funcions de $L^{2} ([- π, π])$ poden desenrollar-se en séries de Fourier. Aixina,el conjunt ${e_{n} = e^{i n x} : n \in ℤ}$ és una base ortonormal de l'espai $L^{2} ([- π, π])$ . El desenroll de Fourier es pot expressar com:

f = \sum_{n = - \infty}^{\infty} ⟨ f, e_{n} ⟩ e_{n} .

A on $c_{n} = ⟨ f, e_{n} ⟩$ són els coeficients del desenroll de Fourier.

Per últim, l'identitat de Parseval diu que donada una funció $f$ de quadrat integrable i els coeficients de Fourier $c_{n}$ , es verifica que:

‖ f ‖^{2} = ⟨ f, f ⟩ = 2 π \sum_{n = - \infty}^{\infty} | c_{n} |^{2} .

En llenguage tècnic, podríem dir que hi ha una isometría entre l'espai de funcions de quadrat integrable i l'espai de successions llineals indexades en els sancers els térmens dels quals tenen quadrats sumables.

Formulació general

Les propietats útils de les séries de Fourier es deuen principalment a l'ortogonalidad i a la propietat d'homomorfisme de les funcions i^{i n x}.

Atres successions de funcions ortogonals tenen propietats similars, encara que algunes identitats útils, concernint per eixemple a les convoluciones, no seguiran complint-se si es pert la "propietat d'homomorfisme".

Alguns eixemples són les seqüències de funcions de Bessel i els polinomis ortogonals. Tals successions s'obtenen normalment com a solucions d'una equació diferencial; una gran classe de tals successions útils són solucions dels cridats problemes de Sturm-Liouville.

Aplicacions

Generació de formes d'ona de corrent o tensió elèctrica per mig de la superposició de sinusoide generats per osciladors eléctrónicos d'amplitut variable les freqüències de la qual ya estan determinades.
Anàlisis en el comportament harmònic d'una senyal.
Reforçament de senyals.
Estudi de la resposta en el temps d'una variable circuital elèctrica a on la senyal d'entrada no és sinusoidal o cosinusoidal, per mig de l'us de transformades de Laplace i/o solució en règim permanent sinusoidal en el domini de la freqüència.
La resolució d'algunes equacions diferencials en derivades parcials admeten solucions particulars en forma de séries de Fourier fàcilment computables, i que obtindre solucions pràctiques, en la teoria de la transmissió de la calor, la teoria de plaques, etc.

Detecció del percentage d'elements components en composts químics, aleacions, etc., a partir de les distintes freqüències de l'espectre electromagnètic de rebot i/o transmissió en el material en freqüències des del infrarrojo fins a rajos X.

Vore també

Notes

↑ Lejeune-Dirichlet, P. "Sur la convergence dones séries trigonométriques qui servent à représenter unix fonction arbitraire entre dones llimites données". (In French), transl. "On the convergence of trigonometric séries which serve to represent an arbitrary function between two given limits". Journal f¨ur die regne und angewandte Mathematik, Vol. 4 (1829) p. 157–169.
↑ «Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe» (en alemà). Habilitationschrift, Gotinga; 1854. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gotinga, vol. 13, 1867. Published posthumously for Riemann by Richard Dedekind. Archivat des d'el original, el 20 de maig de 2008. Consultat el 19 de maig 2008.
↑ D. Mascre, Bernhard Riemann: Posthumous Thesis on the Representation of Functions by Triginometric Séries (1867). Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, Ivor Grattan-Guinness (ed.); pg. 492. Elsevier, 20 May 2005.Accessed 7 Dec 2012.</
↑ Theory of Complex Functions: Readings in Mathematics, by Reinhold Remmert; pg 29. Springer, 1991. Accessed 7 Dec 2012.
↑ Nerlove; Grether, {{{nom2}}} (1995). Analysis of Economic Clave Séries. Economic Theory, Econometrics, and Mathematical Economics, Elsevier. ISBN 0-12-515751-7.
↑ Flugge, Wilhelm (1957). Statik und Dynamik der Schalen, Berlin: Springer-Verlag.

Referències

Bibliografia

M. R. Spiegel, J. Liu, L. Abellanas (2003): Fòrmules i taules de matemàtica aplicada. Segona edició. Série Schaum. Mc Graw-Hill.

Bibliografia adicional

(2005) Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 8th edició (en anglés), New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 0-471-43338-1.
Joseph Fourier, translated by Alexander Freeman (2003). The Analytical Theory of Heat (en anglés), Dover Publications. ISBN 0-486-49531-0. 2003 republicación de la versió de 1878 de Théorie Analytique de la Chaleur De Fourier (originalment de 1822), traducció a l'anglés d'Alexander Freeman
Enrique A. Gonzalez-Velasco (1992). “Connections in Mathematical Analysis: The Case of Fourier Séries”. American Mathematical Monthly 99 (5): 427–441. doi:10.2307/2325087.
Katznelson, Yitzhak (1976). An introduction to harmonic analysis, Second corrected edició (en anglés), New York: Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-63331-4.
Felix Klein, Development of mathematics in the 19th century. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Translated by M. Ackerman from Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert, Springer, Berlin, 1928. (anglés)
Walter Rudin (1976). Principles of mathematical analysis, 3rd edició (en anglés), New York: McGraw-Hill, Inc.. ISBN 0-07-054235-X.
A. Zygmund (2002). Trigonometric Séries, third edició (en anglés), Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-89053-5. La primera edició va ser publicada en 1935.

Enllaços externs

Commons

Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Série de Fourier.
Fourier Séries en MathWorld.
The Feynman Lectures Capítul 50 Harmonics

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Serie de Fourier» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

Erro en la cita: Existixen etiquetes <ref> per a un grup nomenat "lower-alpha", pero no es trobà una etiqueta <references group="lower-alpha"/>

[2] Lejeune-Dirichlet, P. "Sur la convergence dones séries trigonométriques qui servent à représenter unix fonction arbitraire entre dones llimites données". (In French), transl. "On the convergence of trigonometric séries which serve to represent an arbitrary function between two given limits". Journal f¨ur die regne und angewandte Mathematik, Vol. 4 (1829) p. 157–169.

[3] «Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe» (en alemà). Habilitationschrift, Gotinga; 1854. Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Gotinga, vol. 13, 1867. Published posthumously for Riemann by Richard Dedekind. Archivat des d'el original, el 20 de maig de 2008. Consultat el 19 de maig 2008.

[4] D. Mascre, Bernhard Riemann: Posthumous Thesis on the Representation of Functions by Triginometric Séries (1867). Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940, Ivor Grattan-Guinness (ed.); pg. 492. Elsevier, 20 May 2005.Accessed 7 Dec 2012.</

[5] Theory of Complex Functions: Readings in Mathematics, by Reinhold Remmert; pg 29. Springer, 1991. Accessed 7 Dec 2012.

[6] Nerlove; Grether, {{{nom2}}} (1995). Analysis of Economic Clave Séries. Economic Theory, Econometrics, and Mathematical Economics, Elsevier. ISBN 0-12-515751-7.

[7] Flugge, Wilhelm (1957). Statik und Dynamik der Schalen, Berlin: Springer-Verlag.

[lower-alpha 1]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]