Fenomen de Gibbs

Aproximació funcional d'una ona quadrada usant 5 harmònics

Aproximació funcional d'una ona quadrada usant 25 harmònics

Aproximació funcional d'una ona quadrada usant 125 harmònics

En matemàtiques, el fenomen de Gibbs és el comportament oscilatori de la série de Fourier d'una funció definida a trossos periòdica i contínuament diferenciable que es produïx al voltant d'una discontinuïtat de bot. La $N$-ésima série parcial de Fourier fins al de la funció (formada per la suma dels $N$ primers térmens de la série de Fourier de la funció) produïx grans picos al voltant del punt de bot, generant sobreimpulsos i subimpulsos respecte als valors de la funció. A mida que s'utilisen més térmens de la sinusoide, este error d'aproximació tendix a un llímit d'aproximadament el 9 % del bot, encara que la suma de la série de Fourier infinita finalment convergix en casi totes parts (és dir, alcança la convergència en tots els punts continus, pero no en els punts de discontinuidad).

El fenomen de Gibbs va ser observat per físics experimentals i es creïa que es devia a imperfeccions en els aparats de medició, pero en realitat és un resultat matemàtic. És una de les causes de l'aparició dels denominats artefactes d'anell en el processament de senyals.

Descripció

El fenomen de Gibbs és un comportament de la série de Fourier d'una funció en una discontinuïtat de bot i es descriu de la següent manera:

A mida que es prenen més constituents o components de la série de Fourier, esta última mostra el primer excés en el comportament oscilatori al voltant del punt de bot que s'acosta al 9 % del bot (complet), i esta oscilació no desapareix sino que s'acosta al punt en el que l'integral de l'oscilació s'acosta a zero (és dir, a l'energia zero en l'oscilació).

En el punt de bot, la série de Fourier proporciona el promig dels llímits d'abdós costats de la funció cap al punt.

Eixemple de l'ona quadrada

Les tres imàgens de la dreta demostren el fenomen de Gibbs per a una ona quadrada (en una amplitut de pic a pic de $c$ de $-c/2$ a $c/2$ i la periodicitat $L$) la série parcial de la qual de Fourier fins al $N$-ésimo terme és

$\frac{2c}{\pi }(\sin (\omega x)+\frac{1}{3}\sin (3\omega x)+\cdots +\frac{1}{N-1}\sin ((N-1)\omega x))$

a on $\omega =2\pi /L$. Més precisament, esta ona quadrada és la funció $f(x)$ que és igual a $\frac{c}{2}$ entre $2n(L/2)$ i $(2n+1)(L/2)$ i $-\frac{c}{2}$ entre $(2n+1)(L/2)$ i $(2n+2)(L/2)$ per a cada número entero $n$. Per lo tant, esta ona quadrada té una discontinuïtat de bot d'altura de pic a pic $c$ en cada múltiple sancer de $L/2$.

A mida que s'agreguen més térmens sinusoidals (és dir, aumentant $N$), l'error de la série parcial de Fourier convergix a una altura fixa. Pero degut a que l'ample de l'error continua estretint-se, l'àrea de l'error – i per això, l'energia de l'error – convergix a 0. L'anàlisis de l'ona quadrada revela que l'error excedix l'altura (des de zero) $\frac{c}{2}$ de l'ona quadrada en

$\frac{c}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\sin (t)}{t}dt-\frac{c}{2}=c\cdot (0.089489872236\dots ).$(Plantilla:OEIS2C)

o al voltant del 9 % del bot complet $c$. De manera més general, en qualsevol discontinuïtat d'una funció contínuament diferenciable per parts en un bot de $c$, la série parcial de Fourier $N$^th de la funció (per a un valor de $N$ molt gran) sobrepassarà este bot per un error que s'aproxima a $c\cdot (0.089489872236\dots )$ en un extrem i ho sobrepassarà en la mateixa cantitat en l'atre extrem. Per lo tant, el "bot complet" en la série parcial de Fourier serà aproximadament un 18 % major que el bot complet en la funció original. En la discontinuidad, la série parcial de Fourier convergirà al punt mig del bot (independentment del valor real de la funció original en la discontinuidad) com a conseqüència del teorema de Dirichlet. La cantitat

$\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\frac{\sin t}{t}dt=(1.851937051982\dots )=\frac{\pi }{2}+\pi \cdot (0.089489872236\dots )$(Plantilla:OEIS2C)

a voltes es coneix com "constant de Wilbraham-Gibbs".

Història

El fenomen de Gibbs va ser observat i analisat per primera volta per Henry Wilbraham en un artícul de 1848. L'artícul va atraure poca atenció fins a 1914, quan va ser mencionat en la revisió d'anàlisis matemàtic d'Heinrich Burkhardt en l'Enciclopèdia de Klein. En 1898, Albert Abraham Michelson va desenrollar un dispositiu que podia calcular i resintetizar la série de Fourier. Un mit molt estés diu que quan s'introduïen els coeficients de Fourier per a una ona quadrada en la màquina, la gràfica oscilaria en les discontinuïtats, i que com era un dispositiu físic subjecte a defectes de fabricació, Michelson estava convençut de que l'excés es devia a errors en la màquina. De fet, els gràfics produïts per la màquina no eren lo suficientment bons com per a mostrar clarament el fenomen de Gibbs, i és possible que Michelson no ho haguera notat, ya que no va mencionar este efecte en el seu artícul Michelson (Stratton) sobre la seua màquina o en les seues cartes posteriors a la revista Nature.

Inspirat per la correspondència entre Michelson i A. E. H. Love publicada en Nature sobre la convergència de la série de Fourier de la funció d'ona quadrada, J. Willard Gibbs va publicar una nota en 1898 senyalant l'important distinció entre el llímit de les gràfiques de les sumes parcials de la funció de Fourier en série d'una ona de serra, i la gràfica del llímit d'eixes sumes parcials. En la seua primera carta, Gibbs no es va donar conte del fenomen que duria el seu nom, i el llímit que va descriure per a les gràfiques de les sumes parcials era inexacto. En 1899 va publicar una correcció en la que descrivia l'excés en el punt de discontinuïtat (Nature, 27 d'abril de 1899, p. 606). En 1906, Maxime Bôcher va realisar un anàlisis matemàtic detallat d'eixe excés, falcant el terme de "fenomen de Gibbs" lo que va acabar generalisant l'us del terme.

En acabant de que l'existència de l'artícul d'Henry Wilbraham es fera àmpliament coneguda, en 1925 Horatio Scott Carslaw va comentar: "Encara podem cridar a esta propietat de la série de Fourier (i d'algunes atres séries) fenomen de Gibbs; pero ya no devem afirmar que la propietat va ser descoberta per primera volta per Gibbs."

Explicació

Informalment, el fenomen de Gibbs reflectix la dificultat inherent a aproximar una funció discontínua per mig d'una série "finita" d'ones sinusoidals contínues. És important posar émfasis en la paraula "finita", perque encara que cada suma parcial de la série de Fourier sobrepassa cada discontinuïtat a la que s'aproxima, el llímit de sumar un número infinit d'ones sinusoidals no ho fa. Els picos d'excés s'acosten cada volta més a la discontinuïtat a mida que se sumen més térmens, per lo que la convergència és possible.

No hi ha contradicció (entre l'error de sobreimpulso que convergix a una altura distinta de zero inclús si la suma infinita no té sobreimpulso), perque els picos de sobreimpulso es mouen cap a la discontinuidad. En conseqüència, el fenomen de Gibbs exhibix convergència puntual, pero no convergència uniforme. Per a una funció contínuament diferenciable (de la classe C¹) per parts, la série de Fourier convergix a la funció en "tots els punts", llevat en les discontinuïtats de bot. En les discontinuïtats de bot, la suma infinita convergirà al punt mig de la discontinuïtat del bot (és dir, el promig dels valors de la funció a cada costat del bot), com a conseqüència del teorema de Dirichlet.

El fenomen de Gibbs està estretament relacionat en el principi de que la suavitat d'una funció controla la taxa de decaiguda dels seus coeficients de Fourier. Els coeficients de Fourier de funcions més suaus decauran més ràpidament (lo que donarà com resultat una convergència més ràpida), mentres que els coeficients de Fourier de funcions discontínues decauran llentament (lo que donarà com resultat una convergència més llenta). Per eixemple, l'ona quadrada discontínua té coeficients de Fourier $(\frac{1}{1},\text{0},\frac{1}{3},\text{0},\frac{1}{5},\text{0},\frac{1}{7},\text{0},\frac{1}{9},\text{0},\dots )$ que decauen solament a una velocitat de $\frac{1}{n}$, mentres que l'Ona triangular contínua té coeficients de Fourier $(\frac{1}{1^2},\text{0},\frac{-1}{3^2},\text{0},\frac{1}{5^2},\text{0},\frac{-1}{7^2},\text{0},\frac{1}{9^2},\text{0},\dots )$ que decauen a una velocitat molt més ràpida de $\frac{1}{n^2}$.

Açò solament proporciona una explicació parcial del fenomen de Gibbs, ya que les séries de Fourier en coeficients absolutament convergents serien uniformemente convergents sgún la prova M de Weierstrass i, per lo tant, no podrien exhibir el comportament oscilatori anterior. Per la mateixa raó, és impossible que una funció discontínua tinga coeficients de Fourier absolutament convergents, ya que la funció seria aixina el llímit uniforme de funcions contínues, i per tant seria contínua, lo que implicaria una contradicció (vore Convergència de séries de Fourier).

Solucions

Ya que el fenomen de Gibbs prové d'una insuficiència de senyes, es pot eliminar utilisant núcleus que mai siguen negatius, com el núcleu de Fejér.

En la pràctica, les dificultats associades en el fenomen de Gibbs poden millorar-se utilisant un método més suau de suma de séries de Fourier, com el sumatorio de Fejér o la mija de Riesz; o ben utilisant l'aproximació sigma. Utilisant una transformada en forma d'ondícula contínua, el fenomen de Gibbs per a una ondícula mai excedix al fenomen de Fourier Gibbs. Ademés, en utilisar la transformada de ondículas discreta en l'ondícula de Haar, el fenomen de Gibbs no apareix en absolut en el cas de senyes contínues en discontinuïtats de bot, i és mínim en el cas discret en punts de canvi grans. En l'anàlisis de ondículas, açò es coneix comunament com a fenomen de Longo. En l'entorn d'interpolació polinomial, el fenomen de Gibbs es pot mitigar utilisant l'algoritme S-Gibbs.

Descripció matemàtica formal del fenomen de Gibbs

Aproximació funcional d'una ona quadrada.

Siga $f:ℝ\to ℝ$ una funció definida a trossos contínuament diferenciable que és periòdica en algun periodo $L>0$. Suponga's que en algun punt $x_0$, el llímit esquerre $f(x_0^{-})$ i el llímit dret $f(x_0^{+})$ de la funció $f$ diferixen per un bot distint de zero de $c$:

$f(x_0^{+})-f(x_0^{-})=c\ne 0.$

Per a cada sancer positiu $N$ = 1, siga $S_{N}f(x)$ la $N$-^ésima série de Fourier parcial ($S_N$ pot tractar-se com un operador matemàtic en funcions).

$S_{N}f(x):=\sum _{-N\le n\le N}\hat{f}(n)e^{\frac{i2\pi nx}{L}}=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _{n=1}^N(a_n\cos \left(\frac{2\pi nx}{L}\right)+b_n\sin \left(\frac{2\pi nx}{L}\right)),$

a on els coeficients de Fourier $\hat{f}(n),a_n,b_n$ per a número entero $n$ vénen daus per les fòrmules habituals

$\hat{f}(n):=\frac{1}{L}\underset{0}{\overset{L}{\int }}f(x)e^{-\frac{i2\pi nx}{L}}dx$

$a_0:=\frac{1}{L}\underset{0}{\overset{L}{\int }}f(x)dx$

$a_n:=\frac{2}{L}\underset{0}{\overset{L}{\int }}f(x)\cos \left(\frac{2\pi nx}{L}\right)dx$

$b_n:=\frac{2}{L}\underset{0}{\overset{L}{\int }}f(x)\sin \left(\frac{2\pi nx}{L}\right)dx.$

Llavors, es té que

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{N}f(x_0+\frac{L}{2N})=f(x_0^{+})+c\cdot (0.089489872236\dots )$

i

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{N}f(x_0-\frac{L}{2N})=f(x_0^{-})-c\cdot (0.089489872236\dots )$

pero

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}_{N}f(x_0)=\frac{f(x_0^{-})+f(x_0^{+})}{2}.$

De manera més general, si $x_N$ és qualsevol seqüència de número real que convergix a $x_0$ com $N\to \mathrm{\infty }$, i si el bot de $a$ és positiu, llavors

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{S}_{N}f(x_N)\le f(x_0^{+})+c\cdot (0.089489872236\dots )$

i

$\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{S}_{N}f(x_N)\ge f(x_0^{-})-c\cdot (0.089489872236\dots ).$

Si en canvi el bot de $c$ és negatiu, és necessari intercanviar el llímit superior ($\mathrm{lim\; sup}$) pel llímit inferior ($\mathrm{lim\; inf}$), i també intercanviar els signes $\le$ i $\ge$, en les dos desigualtats anteriors.

Demostració del fenomen de Gibbs en un cas general

Dit novament, siga $f:ℝ\to ℝ$ una funció contínuament diferenciable per parts que és periòdica en algun periodo $L>0$, i esta funció té múltiples punts de discontinuïtat de bot denominats $x_i$, a on $i=0,1,2,$ i aixina successivament. En cada discontinuidad, la cantitat del bot vertical complet és $c_i$.

Llavors, $f$ es pot expressar com la suma d'una funció contínua $f_c$ i una funció de varis passos $f_s$ que és la suma de funcions escalonades com:

$f=f_c+f_s,$:$f_s=f_{s_1}+f_{s_2}+f_{s_3}+\cdots ,$:$f_{s_i}(x)=\{\begin{array}{cc}0& \text{ si }x\le x_i,\\ c_i,& \text{ si }x>x_i.\end{array}$

$S_{N}f(x)$ com a série parcial de Fourier $N$^th de $f=f_c+f_s=f_c+(f_{s_1}+f_{s_2}+f_{s_3}+\dots )$ convergirà en tots els punts $x$, llevat en aquells propencs a les discontinuïtats $x_i$. Al voltant de cada punt de discontinuïtat $x_i$, $f_{s_i}$ solament es vorà afectada pel fenomen de Gibbs propi (l'error de convergència oscilatòria màxim de 9% del bot $c_i$, com es demostra en l'anàlisis d'una ona quadrada) perque atres funcions són contínues ($f_c$) o planes de valor zero ($f_{s_j}$) a on $j\ne i$) al voltant d'eixe punt. Açò demostra cóm es produïx el fenomen de Gibbs en cada discontinuidad.

Vore també

• Bandes de Mach
• Fenomen de Pinsky
• Fenomen de Runge (un fenomen similar en aproximacions polinòmiques)
• Aproximació σ, que ajusta una suma de Fourier per a eliminar el fenomen de Gibbs que d'un atre modo ocorreria en les discontinuïtats
• Integral sen

Bibliografia

• (1898).«Fourier's Series».Nature.59(1522)

200.ISSN 0028-0836.doi:10.1038/059200b0.

• (1899).«Fourier's Series».Nature.59(1539)

606.ISSN 0028-0836.doi:10.1038/059606a0.

• (1898).«A new harmonic analyser».Philosophical Magazine.5(45)

85–91.

• Zygmund, Antoni (1959). Trigonometric Séries, 2nd edició, Cambridge University Press. Volum 1, Volum 2.
• (1848).«On a certain periodic function».The Cambridge and Dublin Mathematical Journal.3

198–201.

• Paul J. Nahin, Dr. La fabulosa fòrmula de Euler, Princeton University Press, 2006. Cap. 4, secció. 4.
• (2000).«Fourier Analysis and its Applications».Springer Publishing.New York:223

93.

Enllaces externs

• Commons
• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Fenomen de Gibbs.
• {{{1}}} en Springer

• Weisstein, Eric W., "Gibbs Phenomenon". From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Prandoni, Paolo, "Gibbs Phenomenon".
• Radaelli-Sanchez, Ricardo, and Richard Baraniuk, "Gibbs Phenomenon". The Connexions Project. (Creative Commons Attribution License)
• Horatio S Carslaw : Introduction to the theory of Fourier's series and integrals.pdf (introductiontot00unkngoog.pdf) en archive.org
• Desenroll en Python del algoritme "S-Gibbs", que mitiga el fenomen de Gibbs