Mija de Riesz

En matemàtiques, les miges de Riesz o la mija de Riesz és un tipo de mija dels térmens d'una série. Esta va ser introduïda pel matemàtic Marcel Riesz en 1911 com a millora respecte a la mija de Cesàro. La mija de Riesz no es deu confondre en la mija de Bochner-Riesz i tampoc en la mija de Strong-Riesz .

Definició

Donada una série $\{s_n\}$, la mija de Riesz de la série es pot definir per lo següent:

$s^{\delta }(\lambda )=\sum _{n\le \lambda }{(1-\frac{n}{\lambda })}^{\delta }{s}_n$

En ocasions es definix una mija de Riesz generalisada:

$R_n=\frac{1}{{\lambda }_n}\sum _{k=0}^n({\lambda }_k-{\lambda }_{k-1}{)}^{\delta }{s}_k$

Ací, ${\lambda }_n$ són seqüències en ${\lambda }_n\to \mathrm{\infty }$ i en ${\lambda }_{n+1}/{\lambda }_n\to 1$ cóm $n\to \mathrm{\infty }$. A banda d'est, ${\lambda }_n$ d'una atra forma es prenen com a arbitràries.

Les miges de Riesz s'utilisen prou a sovint per a explorar la sumabilidad de les seqüències; les teoremes de sumabilidad típics discutixen el cas de $s_n=\sum _{k=0}^n{a}_k$ per a alguna seqüència $\{a_k\}$. Típicament, una seqüència és sumable quan el llímit $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{R}_n$ existix, o el llímit $\underset{\delta \to 1,\lambda \to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}^{\delta }(\lambda )$ existix, encara que les teoremes de sumabilidad precisos en qüestió a sovint també imponen condicions adicionals.

Casos especials

Siga $a_n=1$ para tot $n$. Llavors, es té que:

$\sum _{n\le \lambda }{(1-\frac{n}{\lambda })}^{\delta }=\frac{1}{2\pi i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}\zeta (s){\lambda }^{s}ds=\frac{\lambda }{1+\delta }+\sum _n{b}_n{\lambda }^{-n}.$

Ací, es deu prendre $c>1$; $\Gamma (s)$ és la funció gamma i $\zeta (s)$ és la funció zeta de Riemann. La série de potències, puix,

$\sum _n{b}_n{\lambda }^{-n}$

es pot aplegar a demostrar de que és convergent per $\lambda >1$. Tinga en conte que l'integral és de la forma d'una transformada de Mellin inversa.

Un atre cas interessant relacionat en la teoria de números sorgix en la pren de mides $a_n=\Lambda (n)$, a on $\Lambda (n)$ és la funció de Von Mangoldt . Llavors:

$\sum _{n\le \lambda }{(1-\frac{n}{\lambda })}^{\delta }\Lambda (n)=-\frac{1}{2\pi i}\underset{c-i\mathrm{\infty }}{\overset{c+i\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}\frac{{\zeta }^{\prime }(s)}{\zeta (s)}{\lambda }^{s}ds=\frac{\lambda }{1+\delta }+\sum _{\rho }\frac{\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}+\sum _n{c}_n{\lambda }^{-n}.$

De nou, és necessari prendre c > 1. La suma sobre ρ és la suma sobre els zeros de la funció zeta de Riemann, i

$\sum _n{c}_n{\lambda }^{-n}$

és convergent per a λ > 1.

Les integrals que es produïxen ací són molt similars a l'integral de Nørlund-Rice; molt aproximadament, estes es poden aplegar a conectar a esta integral per mig de la fòrmula de Perron.

Bibliografia

• (1916).«Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes».Acta Mathematica.41doi:10.1007/BF02422942.Consultat el 3 de febrer de 2023.
• Riesz (12 de juny de 1911). Comptes Rendus.
• {{{1}}} en Springer