Funció de von Mangoldt

Archiu:Von Mangoldt function Fourier transform zeta zero duality. caps block 0

Funcions aritmètiques

En matemàtica, la Funció de Von Mangoldt és una funció aritmètica, molt important en teoria de números, que deu el seu nom al matemàtic alemà Hans von Mangoldt.

Definició

La funció de von Mangoldt, normalment escrita com Λ(n), està definida de la següent manera:

Esta funció és un eixemple important de funció aritmètica que no és ni multiplicativa ni aditiva.

La funció de von Mangoldt complix la següent identitat:

que és, la suma de tots els sancers d que dividixen a n. Açò es pot demostrar per mig del teorema fonamental de l'aritmètica, ya que els térmens que no són potències d'número primo són igual a 0.

La funció de Chebyshov, o funció sumatorio de von Mangoldt , ψ(x), està definida en térmens de la funció de von Mangoldt com:

$\psi (x)=\sum _{n\le x}\Lambda (n).$

von Mangoldt va donar una demostració rigorosa d'una fòrmula explícita para ψ(x), utilisant una suma sobre els zeros no trivials de la funció zeta de Riemann. Est va ser un important pas per a la primera prova del teorema dels número primo.

Eixemple

Per a l'eixemple, siga n=12.

• Es obtieme la descomposició en factors primers de 12, 12=2²·3, necessària per a l'eixemple.
• Prenent la suma de tots els divisores d possibles de n:

$\sum _{d\mid n}\Lambda (d)=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)$

$=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (2^2)+\Lambda (2\times 3)+\Lambda (2^2\times 3)$

$=0+\log 2+\log 3+\log 2+0+0$

$=\log (2\times 3\times 2)=\log 12.$

en lo que es mostra que la suma sobre la funció de von Mangoldt és igual a log (n).

Vore també

• Teoria de números
• Funció zeta de Riemann