Teoria de números

La teoria de números és la branca de les matemàtiques que estudia les propietats dels números, en particular els sancers, pero més en general, estudia les propietats dels anells de números: anells íntegres que contenen a $ℤ$ a través d'un morfismo finito i inyectivo $ℤ ↪ A$ . Conté una cantitat considerable de problemes que podrien ser compresos per "no matemàtics". De forma més general, este camp estudia els problemes que sorgixen en l'estudi dels número entero. Tal com cita Jürgen Neukirch:

La teoria de números ocupa entre les disciplines matemàtiques una posició idealizada anàloga a aquella que ocupen les matemàtiques mateixes entre les atres ciències.^[2]

Els número entero poden considerar-se en sí mateixos o com a solucions d'equacions (geometria diofántica). Les qüestions de la teoria dels números solen entendre's millor a través de l'estudi dels objectes del analític (per eixemple, la funció zeta de Riemann) que codifiquen propietats dels número entero, els cosins o atres objectes de la teoria dels números d'alguna manera (Teoria analítica de números). També es poden estudiar els número real en relació en els número racional, per eixemple, com a aproximació d'estos últims (aproximació diofántica).

El terme "aritmètica" també era utilisat per a referir-se a la teoria de números. Est és un terme prou antic, encara que ya no tan popular. D'allí la teoria de números sol ser denominada alta aritmètica,^[3] encara que el terme també ha caigut en desús. Este sentit del terme aritmètica no deu ser confòs en l'aritmètica elemental, o en la branca de la llògica que estudia l'aritmètica de Peano com un sistema formal. Els matemàtics que estudien la teoria de números són cridats teòrics de números.

Història

Orígens

Amanecer de l'aritmètica

La troballa històrica més antic de caràcter aritmètic és un fragment de taula: la tablilla d'argila trencada Plimpton 322 (Larsa, Mesopotamia, ca. 1800 a. C.) conté una llista de "triples pitagórico", és dir, sancers $(a, b, c)$ tals que $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ . Els triples són massa i massa grans per a haver segut obtinguts per força bruta. El títul sobre la primera columna diu: "El takiltum de la diagonal que s'ha restat tal que l'ample..."^[4]

La disposició de la taula sugerix^[5] que es va construir per mig de lo que equival, en llenguage modern, a l'identitat

{(\frac{1}{2} (x - \frac{1}{x}))}^{2} + 1 = {(\frac{1}{2} (x + \frac{1}{x}))}^{2},

que està implícit en els eixercicis rutinaris de l'antiga Babilonia.^[6] Si es va utilisar algun atre método,^[7] els triples es construïen primer i després es reordenaban per $c / a$ , presumiblement per al seu us real com "taula", per eixemple, en vistes a les aplicacions.

No se sap quins varen poder ser estes aplicacions, o si va poder haver alguna; l'astronomia babilònica, per eixemple, es va desenrollar realment només despuix. S'ha sugerit en canvi que la taula era una font d'eixemples numèrics per a problemes escolars,^[8]Plantilla:Harv la qual cosa és controvertit. L'artícul de Robson està escrit de forma polèmica^[9] en la finalitat de "tal volta [...] derribar a [Plimpton 322] del seu pedestal";^[10] al mateix temps, s'instala en la conclusió de que:

[...] la pregunta "¿cóm es va calcular la taula?" no té per qué tindre la mateixa resposta que la pregunta "¿quins problemes planteja la taula?" La primera pot respondre's més satisfactòriament per mig de parells recíprocs, com es va sugerir per primera volta fa mig sigle, i la segona per mig d'algun tipo de problemes de triàngul rectàngul.^[9]

Robson discrepa de l'idea de que l'escriga que va produir Plimpton 322, que tenia que "treballar per a guanyar-se la vida", i no hauria pertanygut a una "classe mija acomodada", poguera estar motivat per la seua pròpia "curiositat ociosa" en absència d'un "mercat per a les noves matemàtiques".^[11]

Mentres que la teoria numèrica babilònica —o lo que sobreviu de les matemàtiques babilòniques que pot cridar-se aixina— consistix en este únic i cridaner fragment, l'àlgebra babilònica (en el sentit secundari de "àlgebra") estava excepcionalment ben desenrollada.^[12] Fonts neoplatónicas tardanes^[13] afirmen que Pitágoras va deprendre les matemàtiques dels babilonios. Fonts molt anteriors^[14] afirmen que Tals i Pitágoras varen viajar i varen estudiar en Egipte.

Euclides IX 21-34 és molt provablement pitagórico;^[15] és un material molt simple ("impar per parells és parell", "si un número impar medix [= dividix] un número par, llavors també medix [= dividix] la mitat d'este"), pero és tot lo que es necessita per a demostrar que $\sqrt{2}$ és un irracional.^[16] Els místics pitagórico donaven gran importància als parells i impars.^[17] El descobriment de que $\sqrt{2}$ és irracional s'atribuïx als primers pitagórico (preTeodoro).^[18] En revelar (en térmens moderns) que els números podien ser irracionals, este descobriment sembla haver provocat la primera crisis fundacional de la història de les matemàtiques; la seua demostració o la seua divulgació s'atribuïxen a voltes a Hipaso, que va ser expulsat o escindit de la secta pitagórico.^[19] Açò va obligar a distinguir entre els números (els sancers i els racionals —els subjectes de l'aritmètica—), per un costat, i les llongituts i les proporcions (que identificaríem en els número real, siguen racionals o no), per un atre.

La tradició pitagórico parlava també dels cridats poligonal o números figurats.^[20] Mentres que els números quadrats, cúbics, etc., es veuen ara com més naturals que els números triangulars, pentagonals, etc., l'estudi de les sumes de números triangulars i pentagonals resultaria fructífer a principis de l'época moderna (de el XVII a principis de el XIX).

No coneixem cap material clarament aritmètic en les fonts antigues egipcíaques o védicas, encara que hi ha una miqueta d'àlgebra en abdós. El teorema del restant chinenc apareix com un eixercici^[21] en Sunzi Suanjing (sigles III, IV o V de l'era cristiana).^[22] (Hi ha un pas important que es passa per alt en la solució de Sunzi:^{[note 1]} és el problema que posteriorment va resoldre el Āryabhaṭa de Kuṭṭaka — vore avall).

També existix cert misticisme numèric en les matemàtiques chinenques,^{[note 2]} pero, a diferència del dels pitagórico, sembla no haver dut a cap part. De la mateixa manera que els número perfecto dels pitagórico, els quadrats màgics han passat de la superstició a la recreació.

La Grècia clàssica i el periodo helenístico primerenc

Artícul principal → Matemàtica grega.

Aparte d'alguns fragments, les matemàtiques de la Grècia clàssica nos són conegudes o be pels informes dels no matemàtics contemporàneus o be per les obres matemàtiques de la primera época helenística.^[23] En el cas de la teoria dels números, açò significa, en general, Platón i Euclides, respectivament.

Encara que les matemàtiques asiàtiques varen influir en l'aprenentage grec i helenístico, sembla ser que les matemàtiques gregues són també una tradició autòctona.

Eusebio de Cesarea, PE X, en el capítul 4 menciona a Pitágoras:

En efecte, dit Pitágoras, mentres estudiava afanosamente el saber de cada nació, va visitar Babilonia, i Egipte, i tota Pèrsia, sent instruït pels Macs i els sacerdots: i ademés d'estos es conta que va estudiar en els brahmanes (estos són filòsofs indis); i d'uns va arreplegar l'astrologia, d'uns atres la geometria, i d'uns atres l'aritmètica i la música, i diferents coses de diferents nacions, i només dels sabio de Grècia no va obtindre res, casats com estaven en una pobrea i escassea de saber: aixina que, pel contrari, ell mateixa es va convertir en l'autor de l'instrucció dels grecs en l'aprenentage que havia conseguit de l'estranger.^[24]

Aristóteles afirmava que la filosofia de Platón seguia de prop les ensenyances dels pitagórico,^[25] i Cicerón repetix esta afirmació: Platonem ferunt didicisse Pythagorea omnia ("Diuen que Platón va deprendre tot lo pitagórico").^[26]

Platón tenia un gran interés per les matemàtiques, i distinguia clarament entre aritmètica i càlcul. (Per aritmètica es referia, en part, a la teorización sobre el número, en lloc de lo que han aplegat a significar aritmètica o teoria dels números). És a través d'un dels diàlecs de Platón —a saber, el Teteto'— que sabem que Teodoro havia demostrat que $\sqrt{3}, \sqrt{5}, \dots, \sqrt{17}$ són irracionals. Teteto va ser, de la mateixa manera que Platón, discípul de Teodoro; va treballar en la distinció dels distints tipos d' incomensurables, per lo que podria dir-se que va ser un pioner en l'estudi dels sistemes numèrics. El llibre X dels Elements de Euclides és descrit per Pappus com basat en gran mida en el treball de Theaetetus.

Euclides va dedicar part dels seus Elements als número primo i a la divisibilidad, temes que pertanyen inequívocament a la teoria dels números i que són bàsics en ella (llibres VII a IX dels Elements de Euclides). En particular, va donar un algoritme per a calcular el màxim comú divisor de dos números (l'algoritme de Euclides; Elements, Prop. VII.2) i la primera prova coneguda de l'infinitud dels número primo (Elements, Prop. IX.20).

En 1773, Lessing va publicar un epigrama que havia trobat en un manuscrit durant el seu treball com a bibliotecari; pretenia ser una carta enviada per Arquímedes a Eratóstenes.^[27]^[28] El epigrama proponia lo que es coneix com problema del ganado de Arquímedes; la seua solució, absent en el manuscrit, requerix resoldre una equació quadràtica indeterminada, que es reduïx a lo que més vesprada es denominaria erròneament equació de Pell. Per lo que sabem, tals equacions varen ser tractades per primera volta en èxit per l'escola índia. No se sap si el propi Arquímedes tenia un método de solució.

Diofanto d'Aleixandria

Portada de l'edició de 1621 de la *Arithmetica* de Diofanto, traduïda al llatí per Claude Gaspard Bachet de Méziriac.

Se sap molt poc sobre Diofanto d'Aleixandria; provablement va viure en el III de nostra era, és dir, uns cinccents anys despuix de Euclides. Sis dels tretze llibres de la Aritmètica de Diofanto es conserven en el grec original i quatre més en una traducció a l'àrap. La Arithmetica és una colecció de problemes elaborats en els que la tasca consistix invariablement en trobar solucions racionals a un sistema d'equacions polinòmiques, normalment de la forma $f (x, y) = z^{2}$ o $f (x, y, z) = w^{2}$ . Aixina, hui en dia, parlem de "equacions diofánticas" quan parlem d'equacions polinòmiques a les que cal trobar solucions racionals o sanceres.

Es pot dir que Diofanto estudiava els punts racionals, és dir, els punts les coordenades dels quals són racionals, en curves i varietats algebraiques; no obstant, a diferència dels grecs de l'época clàssica, que feyen lo que hui cridaríem àlgebra bàsica en térmens geomètrics, Diofanto feya lo que hui cridaríem geometria algebraica bàsica en térmens purament algebraics. En llenguage modern, lo que va fer Diofanto va ser trobar parametrización racionals de les varietats; és dir, donada una equació de la forma (digam) $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 0$ , el seu objectiu era trobar (en essència) tres funcions racionals $g_{1}, g_{2}, g_{3}$ tals que, per a tots els valors de $r$ i $s$ , establixquen

$x_{i} = g_{i} (r, s)$ per a $i = 1, 2, 3$ dona una solució a $f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 0.$

Diofanto també va estudiar les equacions d'algunes curves no racionals, per a les que no és possible una parametrización racional. Va conseguir trobar alguns punts racionals en estes curves (curva elípticas, en lo que sembla ser la seua primera aparició coneguda) per mig de lo que equival a una construcció tangente: traduït a la geometria de coordenades (que no existia en l'época de Diofanto), el seu método es visualisaria com dibuixar una tangente a una curva en un punt racional conegut, i després trobar l'atre punt d'intersecció de la tangente en la curva; eixe atre punt és un nou punt racional. (Diofanto també va recórrer a lo que podria cridar-se un cas especial de construcció d'una secante).

Encara que Diofanto s'ocupava en gran mida de les solucions racionals, va assumir alguns resultats sobre els número entero, en particular que tot sancer és la suma de quatre quadrats, encara que mai ho va dir explícitament.

Āryabhaṭa, Brahmagupta, Bhāskara

Encara que l'astronomia grega provablement va influir en l'aprenentage indi, fins al punt d'introduir la trigonometria,^[29] sembla ser el cas de que les matemàtiques índies són, per lo demés, una tradició indígena;^[30] en particular, no hi ha proves de que els Elements de Euclides aplegaren a l'Índia abans de el XVIII.^[31]

Āryabhaṭa (476-550 d. C.) va demostrar que els parells de congruència simultànees $n \equiv a_{1} {mod m}_{1}$ , $n \equiv a_{2} {mod m}_{2}$ podien resoldre's per mig d'un método que va denominar kuṭṭaka, o pulverizador;^[32] es tracta d'un procediment propenc a (una generalisació de) l'algoritme euclidiano, que provablement va ser descobert de forma independent en l'Índia.^[33] Āryabhaṭa sembla haver tingut en ment aplicacions als càlculs astronòmics.^[29]

Brahmagupta (628 d. C.) va iniciar l'estudi sistemàtic de les equacions quadràtiques indefinides —en particular, la mal cridada Equació de Pell, en la que Arquímedes va poder haver-se interessat primer, i que no va escomençar a resoldre's en Occident fins a l'época de Fermat i Euler. Li seguirien autors sánscritos posteriors, utilisant la terminologia tècnica de Brahmagupta. Un procediment general (el chakravala, o "método cíclico") per a resoldre l'equació de Pell va ser finalment trobat per Jayadeva (citat en el XI; la seua obra s'ha perdut per lo demés); l'exposició més antiga que es conserva apareix en el Bīja-gaṇita de Bhāskara II (XII).^[34]

Les matemàtiques índies varen permanéixer en gran mida desconegudes en Europa fins a finals de el XVIII;^[35] L'obra de Brahmagupta i Bhāskara va ser traduïda a l'anglés en 1817 per Henry Colebrooke.^[36]

L'aritmètica en l'edat d'or islàmica

A principis de el IX, el califa Al-Ma'mun va ordenar traduir moltes obres matemàtiques gregues i a lo manco una obra sánscrita (el Sindhind, que pugues^[37] o pot no^[38] ser el Brahmagupta de Brāhmasphuṭasiddhānta). La principal obra de Diofanto, la Aritmètica, va ser traduïda a l'àrap per Qusta ibn Luqa (820-912). Part del tractat al-Fakhri (d'al-Karajī, 953 - ca. 1029) es basa en ell en certa mida. Segons Rashed Roshdi, el contemporàneu del-Karajī Ibn al-Haytham coneixia^[39] lo que posteriorment es cridaria teorema de Wilson.

Europa Occidental en l'Edat Mija

Aparte d'un tractat sobre els quadrats en la progressió aritmètica de Fibonacci -que va viajar i va estudiar en el nort d'Àfrica i en Constantinopla-, durant l'Edat Mija no es va fer teoria dels números en Europa occidental. Les coses varen escomençar a canviar en Europa a finals del Renaixença, gràcies a un renovat estudi de les obres de l'antiguetat grega. Un catalisador va ser la emendación textual i la traducció al llatí de la Arithmetica de Diofanto.^[40]

Campos

Segons els métodos amprats i les preguntes que s'intenten contestar, la teoria de números es subdivide en diverses branques.

Teoria elemental de números

En la teoria elemental de números, s'estudien els número entero sense amprar tècniques procedents d'atres camps de les matemàtiques. Pertanyen a la teoria elemental de números les qüestions de divisibilidad, l'algoritme de Euclides per a calcular el màxim comú divisor, la factorización dels sancers com a producte de número primo, la busca dels número perfecto i les congruència. Són enunciats típics el menuda teorema de Fermat i el teorema de Euler que ho estén, el teorema chinenca del restant i la llei de reciprocitat quadràtica. En esta branca s'investiguen les propietats de les funcions multiplicativas com la funció de Möbius i la funció φ de Euler; aixina com les successions d'número entero com els factorialés i els números de F.

Diversos cuestionamientos dins de la teoria elemental de números semblen simples, pero requerixen consideracions molt profundes i noves aproximacions, incloent les següents:

Conjectura de Goldbach sobre que tots els número par (a partir de 4) són la suma de dos número primo.
Conjectura dels número primo bessons sobre la infinitud dels cridats número primo bessons.
Última teorema de Fermat (demostrat en 1995 per Andrew Wiles).
Hipòtesis de Riemann sobre la distribució dels zeros de la funció zeta de Riemann, íntimament conectada en el problema de la distribució dels número primo entre uns atres.

Teoria analítica de números

Una teoria analítica de números ampra com a ferramentes el càlcul i l'anàlisis complex per a abordar preguntes sobre els número entero. Alguns eixemples d'esta són el teorema dels número primo i la hipòtesis de Riemann. El problema de Waring, la conjectura dels número primo bessons i la conjectura de Goldbach també estan sent atacats a través de métodos analítics.

Teoria de números aditiva

La teoria de números aditiva tracta d'una manera més profunda els problemes de representació de números. Problemes típics són els ya nomenats, problema de Waring i la conjectura de Goldbach. Esta branca se sol utilisar alguns resultats referents a la teoria analítica de números, tals com el método del círcul de Hardy-Littlewood, a voltes es complementa en la teoria de garbells i en alguns casos solen usar-se métodos topològics.

Teoria algebraica de números

La teoria algebraica de números és una branca de la teoria dels números en la qual el concepte de número s'expandix als número algebraico, els quals són les raïls dels polinomis en coeficients racionals.

Teoria geomètrica de números

La teoria geomètrica de números (tradicionalment cridada geometria de números) incorpora totes les formes de geometria. Comença en el teorema de Minkowski sobre els punts comuns en conjunts convexos i investigacions sobre superfícies esfèriques.

Teoria combinatòria de números

La teoria combinatòria de números tracta els problemes de la teoria de números involucrant idees combinatòrias i les seues formulació o solucions. Paul Erdős és el creador d'esta branca de la teoria de números. Els temes típics inclouen sistemes coberts, problemes de suma zero, diversos conjunts restringits i progressions aritmètiques en un conjunt de sancers. Els métodos algebraics o analítics són prou poderosos en este camp.

Teoria computacional de números

La teoria computacional de números estudia els algoritmes rellevants de la teoria de números. Els algoritmes ràpits per a evaluar número primo i factorización de sancers tenen importants aplicacions en criptografia.

«L'evolució de la computació ha fet que l'aritmètica deixe de ser una ciència contemplativa i d'especialistes per a transformar-se en una verdadera branca aplicada. La necessitat de nous algoritmes de computació requerix- com diu Enzo R. Gentile- vasts i profunts coneiximents aritmètics».

Història

Els matemàtics en l'Índia es varen interessar en trobar solucions sanceres a les equacions diofánticas des de mediats de l'I mileni a. C. El primer us geomètric de les equacions diofánticas es remonta als Shulba-sutras, els quals varen ser escrits entre els sigles V i III a. C. El religiós Baudhaiana (en el IV) va trobar dos conjunts de sancers positius a un conjunt d'equacions diofánticas simultànees, i també s'usen equacions diofánticas simultànees en més de quatre incògnites. Apastamba (en el III) usava equacions diofánticas simultànees en més de cinc incògnites.*

Els matemàtics yainas varen ser els primers en descartar l'idea de que tots els infinits són els mateixos o iguals, pero ya es venien estudiant des d'anys arrere. Reconeixen cinc tipos d'infinits diferents: infinit en una o dos direccions (unidimensionals), infinit en superfícies (bidimensional), infinit en tots els llocs (tridimensional) i perpètuament infinit (en un número infinit de dimensions).

La teoria de números va ser una de les disciplines d'estudi favorites entre els matemàtics grecs d'Aleixandria (en Egipte) a partir de el III, els qui tenien consciència del concepte d'equació diofántica en els seus casos particulars. El primer matemàtic helenístico que va estudiar estes equacions va ser Diofanto.

Diofanto va investigar un método per a trobar les solucions sanceres per a les equacions llineals indeterminades,^[41] equacions en les que falta informació suficient per a produir un conjunt únic de respostes discretes. L'equació $x + i = 5$ és un eixemple d'elles. Diofanto va descobrir que moltes equacions indeterminades poden ser reduïdes a una forma en a on certa categoria de solucions són conegudes, inclús a través d'una solució que no ho és.

Les equacions diofantinas varen ser estudiades de manera intensiva pels matemàtics hindús medievals, els qui varen anar els primers en buscar sistemàticament métodos per a la determinació de solucions sanceres. Ariabhata (476-550) va donar la primera descripció explícita de la solució sancera general de l'equació diofantina llineal $a i + b x = c$ , la qual apareix en el seu text Ariabhatíia. L'algoritme kuttaka és considerat com una de les contribucions més significatives de Ariabhata en les matemàtiques pures, el qual troba les solucions sanceres d'un sistema d'equacions diofantinas llineals, un problema d'important aplicació en l'astronomia. També troba la solució general de l'equació llineal indeterminada utilisant este método.

Brahmagupta (598-668) va treballar les equacions diofantinas més difícils, que apareix en el seu llibre 18 dedicat al àlgebra i equacions indeterminades. Va utilisar el método chakravala per a resoldre les equacions diofantinas quadràtiques, incloent aquelles de la forma de l'equació de Pell tal que $61 x 2 + 1 = i 2$ . El seu Brahma-sphuta-siddhanta va ser traduït al àrap en 773 i al llatí en 1126. L'equació $61 x 2 + 1 = i 2$ va ser proposta com un problema pel matemàtic francés Pierre de Fermat. La solució general d'esta forma particular de l'equació de Pell va ser trobada 70 anys més vesprada per Leonhard Euler, encara que la solució general de l'equació de Pell va ser trobada 100 anys més vesprada per Joseph-Louis de Lagrange en 1767. No obstant, varis sigles abans, l'equació de Pell va ser treballada per Bhaskara II en 1150 utilisant una versió modificada del método chakravala de Brahmagupta, trobant la solució general d'atres equacions quadràtiques intermiges indeterminades i equacions diofánticas quadràtiques. El método chakravala per a trobar la solució general de l'equació de Pell era més simple que el método utilisat per Lagrange 600 anys més vesprada. Bhaskara troba també la solució d'atres equacions quadràtiques indeterminades, cúbiques, cuárticas i polinòmiques de majors graus. Naraian Pandit va perfeccionar encara més les demés quadràtiques indeterminades per a les equacions de graus superiors.

Vore també

Notes

↑ Jean-Paul Collette (1985), Història de les matemàtiques (volums 1 i 2). Traducció d'Alfonso Casal, Madrit: Sigle XXI Editors S.A. ISBN 84-323-0526-4
↑ Introducció a l'obra Cohomology of number fields:
Die Zahlentheorie nimmt unter donen mathematischen Disziplinen eine ähnlich idealisierte Stellung ein wie die Mathematik selbst unter donen anderen Wissenschaften.
↑ Davenport, Harold (1999). The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers (7.ª edició). Cambridge, England: Cambridge University Press. ISBN 0-521-63446-6.
↑ Neugebauer & Sachs 1945, p. 40. El terme takiltum és problemàtic. Robson preferix l'interpretació "L'esquadra de subjecció de la diagonal de la que s'arranca l'1, de modo que el costat curt ixca cap a dalt...".Robson 2001, p. 192
↑ Robson 2001, p. 189. Atres fonts donen la fòrmula moderna $(p^{2} - q^{2}, 2 p q, p^{2} + q^{2})$ . Van der Waerden dona tant la fòrmula moderna com lo que equival a la forma preferida per Robson.Plantilla:Harv
↑ van der Waerden, 1961, p. 184.
↑ NeugebauerPlantilla:Harv discutix la taula en detalle i menciona de passada el método de Euclides en notació modernaPlantilla:Harv.
↑ Friberg, 1981, p. 302.
↑ ^9,0 ^9,1 Robson, 2001, p. 202.
↑ Robson, 2001, p. 167.
↑ Robson, 2001, pp. 199-200.
↑ van der Waerden, 1961, p. 43.
↑ Jámblico, Vida de Pitágoras,(trans., per eixemple,Plantilla:Harv) citat enPlantilla:Harv. Vore també Porfirio, Vida de Pitágoras, paràgraf 6, enPlantilla:Harv. Van der WaerdenPlantilla:Harv sosté l'opinió de que Tals coneixia les matemàtiques babilòniques.
↑ Heródoto (II. 81) i Isócrates (Busiris 28), citats en:Plantilla:Harv. Sobre Tals, vore Eudemus ap. Proclus, 65.7, (per eixemple,Plantilla:Harv) citat en:Plantilla:Harv. Proclus utilisava una obra d'Eudemo de Rodas (ara perduda), el Catàlec de Geómetras. Vore també l'introducció,Plantilla:Harv sobre la fiabilitat de Proclus.
↑ Becker 1936, p. 533, citat en:van der Waerden 1961, p. 108.
↑ Becker, 1936.
↑ van der Waerden, 1961, p. 109.
↑ Plat, Theaetetus, p. 147 B, (per eixemple,Jowett 1871), citat envon Fritz 2004, p. 212: "Teodoro nos escrivia alguna cosa sobre les raïls, com les raïls de tres o de cinc, mostrant que són incommensurables per l'unitat;..." Vore també Espiral de Teodoro.
↑ von Fritz, 2004.
↑ Heath, 1921, p. 76.
↑ Sunzi Suanjing, capítul 3, problema 26. Es pot trobar enLam & Ang 2004, pàg. 219-20, que conté una traducció completa del Suan Ching (basada enQian 1963). Vore també la discussió enLam & Ang 2004, pàg. 138-140.
↑ La data del text s'ha reduït a 220-420 de l'era cristiana (Yan Dunjie) o 280-473 de l'era cristiana (Wang Ling) a través de proves internes (= sistemes de tributació assumits en el text). VoreLam & Ang 2004, pàg. 27-28.
↑ Boyer y Merzbach, 1991, p. 82.
↑ «Eusebio de Cesarea: Praeparatio Evangelica (Preparació per al Evangelio). Tr. E.H. Gifford (1903) - Llibre 10».
↑ Metafísica, 1.6.1 (987a)
↑ Tusc. Disput. 1.17.39.
↑ Vardi, 1998, pp. 305-19.
↑ Weil, 1984, pp. 17-24.
↑ ^29,0 ^29,1 Plofker, 2008, p. 119.
↑ Qualsevol contacte primerenc entre les matemàtiques babilòniques i índies seguix sent conjeturalPlantilla:Harv.
↑ Mumford, 2010, p. 387.
↑ Āryabhaṭa, Āryabhatīya, Capítul 2, versos 32-33, citat en:Plofker 2008, pàg. 134–40. Vore tambéClark 1930, pàg. 42-50. Una descripció llaugerament més explícita del kuṭṭaka es va donar més vesprada en Brahmagupta, Brāhmasphuṭasiddhānta, XVIII, 3-5 (enColebrooke 1817, p. 325, citat enClark 1930, p. 42).
↑ Mumford, 2010, p. 388.
↑ Plofker, 2008, p. 194.
↑ Plofker, 2008, p. 283.
↑ Colebrooke, 1817.
↑ Colebrooke 1817, p. lxv, citada enHopkins 1990, p. 302. Vore també el prefacio enSachau 188 citat enSmith 1958, pàg. 168
↑ Pingree 1968, pàg. 97-125, iPingree 1970, pàg. 103-23, citat enPlofker 2008, p. 256.
↑ Rashed, 1980, pp. 305-21.
↑ Bachet, 1621, despuix d'un primer intent de Xylander, 1575
↑ «Breu història de la teoria de números» [1] archivat en Wayback Machine., artícul en el lloc web Lycos. Consultat el 5 de juny de 2007.

Referències

Bibliografia

(Subscription needed)
1968 edition at archive.org

Volume 1 Volume 2 Volume 3 Volume 4 (1912)
For other editions, see Iamblichus#List of editions and translations
This Google books preview of Elements of algebra lacks Truesdell's intro, which is reprinted (slightly abridged) in the following book:

Enllaços externs

Plantilla:Wikiversidad

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Teoría de números» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

Erro en la cita: Existixen etiquetes <ref> per a un grup nomenat "note", pero no es trobà una etiqueta <references group="note"/>

[història-1] Jean-Paul Collette (1985), Història de les matemàtiques (volums 1 i 2). Traducció d'Alfonso Casal, Madrit: Sigle XXI Editors S.A. ISBN 84-323-0526-4

[2] Introducció a l'obra Cohomology of number fields:
Die Zahlentheorie nimmt unter donen mathematischen Disziplinen eine ähnlich idealisierte Stellung ein wie die Mathematik selbst unter donen anderen Wissenschaften.

[3] Davenport, Harold (1999). The Higher Arithmetic: An Introduction to the Theory of Numbers (7.ª edició). Cambridge, England: Cambridge University Press. ISBN 0-521-63446-6.

[4] Neugebauer & Sachs 1945, p. 40. El terme takiltum és problemàtic. Robson preferix l'interpretació "L'esquadra de subjecció de la diagonal de la que s'arranca l'1, de modo que el costat curt ixca cap a dalt...".Robson 2001, p. 192

[5] Robson 2001, p. 189. Atres fonts donen la fòrmula moderna $(p^{2} - q^{2}, 2 p q, p^{2} + q^{2})$ . Van der Waerden dona tant la fòrmula moderna com lo que equival a la forma preferida per Robson.Plantilla:Harv

[FOOTNOTEvan_der_Waerden1961{{{c}}}184-6] van der Waerden, 1961, p. 184.

[7] NeugebauerPlantilla:Harv discutix la taula en detalle i menciona de passada el método de Euclides en notació modernaPlantilla:Harv.

[FOOTNOTEFriberg1981{{{c}}}302-8] Friberg, 1981, p. 302.

[FOOTNOTERobson2001{{{c}}}202-9] 9,0 ^9,1 Robson, 2001, p. 202.

[FOOTNOTERobson2001{{{c}}}167-10] Robson, 2001, p. 167.

[FOOTNOTERobson2001{{{c}}}199-200-11] Robson, 2001, pp. 199-200.

[FOOTNOTEvan_der_Waerden1961{{{c}}}43-12] van der Waerden, 1961, p. 43.

[vanderW2-13] Jámblico, Vida de Pitágoras,(trans., per eixemple,Plantilla:Harv) citat enPlantilla:Harv. Vore també Porfirio, Vida de Pitágoras, paràgraf 6, enPlantilla:Harv. Van der WaerdenPlantilla:Harv sosté l'opinió de que Tals coneixia les matemàtiques babilòniques.

[stanencyc-14] Heródoto (II. 81) i Isócrates (Busiris 28), citats en:Plantilla:Harv. Sobre Tals, vore Eudemus ap. Proclus, 65.7, (per eixemple,Plantilla:Harv) citat en:Plantilla:Harv. Proclus utilisava una obra d'Eudemo de Rodas (ara perduda), el Catàlec de Geómetras. Vore també l'introducció,Plantilla:Harv sobre la fiabilitat de Proclus.

[Becker-15] Becker 1936, p. 533, citat en:van der Waerden 1961, p. 108.

[FOOTNOTEBecker1936{{{c}}}-16] Becker, 1936.

[FOOTNOTEvan_der_Waerden1961{{{c}}}109-17] van der Waerden, 1961, p. 109.

[Thea-18] Plat, Theaetetus, p. 147 B, (per eixemple,Jowett 1871), citat envon Fritz 2004, p. 212: "Teodoro nos escrivia alguna cosa sobre les raïls, com les raïls de tres o de cinc, mostrant que són incommensurables per l'unitat;..." Vore també Espiral de Teodoro.

[FOOTNOTEvon_Fritz2004{{{c}}}-19] von Fritz, 2004.

[FOOTNOTEHeath1921{{{c}}}76-20] Heath, 1921, p. 76.

[21] Sunzi Suanjing, capítul 3, problema 26. Es pot trobar enLam & Ang 2004, pàg. 219-20, que conté una traducció completa del Suan Ching (basada enQian 1963). Vore també la discussió enLam & Ang 2004, pàg. 138-140.

[YongSe-22] La data del text s'ha reduït a 220-420 de l'era cristiana (Yan Dunjie) o 280-473 de l'era cristiana (Wang Ling) a través de proves internes (= sistemes de tributació assumits en el text). VoreLam & Ang 2004, pàg. 27-28.

[FOOTNOTEBoyerMerzbach1991{{{c}}}82-25] Boyer y Merzbach, 1991, p. 82.

[26] «Eusebio de Cesarea: Praeparatio Evangelica (Preparació per al Evangelio). Tr. E.H. Gifford (1903) - Llibre 10».

[27] Metafísica, 1.6.1 (987a)

[28] Tusc. Disput. 1.17.39.

[FOOTNOTEVardi1998{{{c}}}305-19-29] Vardi, 1998, pp. 305-19.

[FOOTNOTEWeil1984{{{c}}}17-24-30] Weil, 1984, pp. 17-24.

[FOOTNOTEPlofker2008{{{c}}}119-31] 29,0 ^29,1 Plofker, 2008, p. 119.

[Plofbab-32] Qualsevol contacte primerenc entre les matemàtiques babilòniques i índies seguix sent conjeturalPlantilla:Harv.

[FOOTNOTEMumford2010{{{c}}}387-33] Mumford, 2010, p. 387.

[34] Āryabhaṭa, Āryabhatīya, Capítul 2, versos 32-33, citat en:Plofker 2008, pàg. 134–40. Vore tambéClark 1930, pàg. 42-50. Una descripció llaugerament més explícita del kuṭṭaka es va donar més vesprada en Brahmagupta, Brāhmasphuṭasiddhānta, XVIII, 3-5 (enColebrooke 1817, p. 325, citat enClark 1930, p. 42).

[FOOTNOTEMumford2010{{{c}}}388-35] Mumford, 2010, p. 388.

[FOOTNOTEPlofker2008{{{c}}}194-36] Plofker, 2008, p. 194.

[FOOTNOTEPlofker2008{{{c}}}283-37] Plofker, 2008, p. 283.

[FOOTNOTEColebrooke1817{{{c}}}-38] Colebrooke, 1817.

[39] Colebrooke 1817, p. lxv, citada enHopkins 1990, p. 302. Vore també el prefacio enSachau 188 citat enSmith 1958, pàg. 168

[Plofnot-40] Pingree 1968, pàg. 97-125, iPingree 1970, pàg. 103-23, citat enPlofker 2008, p. 256.

[FOOTNOTERashed1980{{{c}}}305-21-41] Rashed, 1980, pp. 305-21.

[42] Bachet, 1621, despuix d'un primer intent de Xylander, 1575

[43] «Breu història de la teoria de números» [1] archivat en Wayback Machine., artícul en el lloc web Lycos. Consultat el 5 de juny de 2007.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[note 1]

[note 2]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]