Teorema de Euclides

Archiu:Artgate Fondazione Cariplo - Cifrondi Antonio, Euclide.jpg

Euclides

La teorema de Euclides és una important teorema en teoria de números que afirma que existixen infinits número primo.

Existixen numeroses demostracions de la teorema.

Demostració de Euclides

Euclides va formular la primera demostració en la proposició 20 del llibre IX de la seua obra Elements. Una adaptació comuna d'esta demostració original seguix aixina:

Es pren un conjunt arbitrari pero finito d'número primo p₁, p₂, ···, p_n, i es considera el producte de tots ells més un, q=p₁p₂ ··· p_n+1. Este número és òbviament major que 1 i distint de tots els primers p_i de la llista. El número q pot ser primer o compost. Si és primer tindrem un número primo que no està en el conjunt original. Si, pel contrari, és compost, llavors existirà algun factor p que dividixca a q (q=p₁p₂ ··· p_n+1). Suponent que p és algun dels p_i, es deduïx llavors que p dividix a la diferencia q-p₁p₂ ··· p_n=1, pero cap número primo dividix a 1, és dir, s'ha aplegat a un absurt per supondre que p està en el conjunt original. La conseqüència és que el conjunt que es va triar no és exhaustiu, ya que existixen número primo que no pertanyen a ell, i açò és independent del conjunt finito que es prenga.

Existixen numeroses demostracions paregudes a esta, que es formulen a continuació:

Reformulación de Kummer

Suponga's que existix una cantitat finita d'número primo p₁ < p₂ < p₃ < ... < p_r. Siga N = p₁·p₂·p₃·...·p_r > 2. El sancer N-1, en ser producte de cosins, té un divisor p_i que també és divisor de N; aixina que p_i dividix a N - (N-1) = 1. Açò és absurt, per lo que té que haver infinits número primo.

Demostració de Hermite

Siga n=1, 2, 3, ... i q_n el factor primer més chicotet de n! + 1 per a cada n. Com a q_n té que ser major que n, es deduïx que esta successió conté infinits elements distints, i que per tant existixen infinits número primo.

Demostració de Stieltjes

Suponga's que existix un número finito d'número primo. Siga Q el producte de tots els número primo, i siguen m i n dos sancers positius en Q = mn.
Es té que tot número primo p dividix, o be a m, o be a n, pero no a abdós, és dir, m i n són cosins entre sí. Llavors m+n no pot tindre cap divisor primer, pero com és estrictament major que 1, deu ser un número primo que no dividix a Q: contradicció.

Atres demostracions

Demostració de Goldbach (1730)

Esta demostració es basa en els números de Fermat, és dir, els números de la forma :$F_n=2^{2^n}+1$.

Lema: Dos números de Fermat distints Fm i Fn són primers entre sí. (Goldbach, 1730)

Per a cada número de Fermat F_n, trie's un divisor primer p_n. Com els números de Fermat són primers entre sí, sabem que dos cosins qualssevol p_m i p_n són distints. Aixina, hi ha a lo manco un número primo p_n per cada número de Fermat F_n, és dir, a lo manco un número primo per cada número entero n.

Esta demostració també és vàlida si es pren una atra seqüència infinita de número natural que són primers entre sí, com la seqüència de Sylvester.

Demostració de Euler (1737)

En un artícul de 1737 titulat Variae observationes circa séries infinites Euler va donar una atra demostració. Va deduir la següent fòrmula:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\cdots =\frac{2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13\cdots }{1\cdot 2\cdot 4\cdot 6\cdot 10\cdot 12\cdots }$

a on la primera expressió és la série harmònica i "el numerador de la dreta és el producte de tots els número primo i el denominador és el producte de tots els números inferiors en una unitat als número primo".

Com la série harmònica divergix també ho fa l'expressió de la dreta per lo que el número de factors, el número d'número primo, deu ser infinit.

Demostració de Euler

Siga Q el producte de tots els cosins. Siga φ(n) la funció φ de Euler definida com el número de sancers menors que n i coprimos en ell. Llavors φ(Q) és igual al producte dels números que resulten de restar-li 1 a cada u dels número primo, és dir,

φ(Q) = (2-1)·(3-1)·(5-1)·(7-1)·(11-1)·... = 1·2·4·6·10·...

Un dels número entero coprimos en Q és 1. Aixina i tot, hi ha a lo manco un atre sancer en l'interval [2,Q] que no té factor comú en Q. Eixe sancer no pot tindre cap factor primer, perque estan tots en Q, aixina que deu ser igual a 1, en lo que s'aplega a una contradicció.

Demostració topològica de Furstenberg (1955)

Artícul principal → Demostració de Furstenberg de la infinitud dels número primo.

Definixca's una topología en el conjunt dels número entero amprant progressions aritmètiques (de −∞ a +∞). Açò genera un espai topològic. Per a cada número p, siga A_p el conjunt de tots els múltiples de p. A_p és tancat, perque el seu complementari és l'unió de totes les demés progressions aritmètiques en diferència p. Ara, siga A l'unió de les progressions A_p. Si hi ha un número finito d'número primo, llavors A és una unió finita de conjunts tancats, i per lo tant A és tancat. No obstant, tots els número entero, llevat -1 i 1, són múltiples d'algun número primo, aixina que el complementari d'és {-1, 1} que no és obert. Açò mostra que A no és una unió finita i que existixen infinits cosins.