Número de Fermat

Un número de Fermat, nomenat en honor a Pierre de Fermat, qui va ser el que va formular i va investigar estos números, és un número natural de la forma $F_n=2^{2^n}+1$, a on n és natural. De particular interés són els números primers de Fermat.

Pierre de Fermat conjeturó que tots els número natural de la forma

$F_n=2^{2^n}+1$

en n natural eren número primo (despuix de tot, els cinc primers térmens, 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) i 65537 (n=4) lo són), pero Leonhard Euler va provar que no era aixina en 1732. En efecte, en prendre n=5 s'obté un número compuesto:

$F_5=2^{2^5}+1=2^{32}+1=4294967297=641\times 6700417$

4294967297 és el número més chicotet que, sent número de Fermat, no és primer.

Actualment, solament es coneixen cinc número primo de Fermat, que són els que ya es coneixien en temps del propi Fermat, i, a data de giner de 2009 solament es coneix la factorización completa dels dotze primers números de Fermat (des de n=0 fins a n=11). Estes són algunes de les conjectura que existixen hui dia sobre estos números:

1. ¿Solament hi ha cinc número primo de Fermat (3, 5, 17, 257 i 65537)?
2. ¿Existixen infinits cosins de Fermat?

Alguns números de Fermat i la seua factorización

Els nou primers números de Fermat són els següents:

F0	=	21	+	1	=	3
F1	=	22	+	1	=	5
F2	=	24	+	1	=	17
F3	=	28	+	1	=	257
F4	=	216	+	1	=	65.537
F5	=	232	+	1	=	4.294.967.297
					=	641 × 6.700.417
F6	=	264	+	1	=	18.446.744.073.709.551.617
					=	274.177 × 67.280.421.310.721
F7	=	2128	+	1	=	340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457
					=	59.649.589.127.497.217 × 5.704.689.200.685.129.054.721
F8	=	2256	+	1	=	115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.937
					=	1.238.926.361.552.897 × 93.461.639.715.357.977.769.163.558.199.606.896.584.051.237.541.638.188.580.280.321

Propietats dels números de Fermat

1. Un número de Fermat és igual al producte de tots els anteriors més 2. Açò es pot demostrar per inducció com seguix:
   • Si n=1, és veritat: F₁ = F₀ + 2 (5 = 3 + 2).
   • Si es complix per a k igual a n-1, es complix per a n:

$F_0\cdot F_1\cdot \dots \cdot F_{n-2}\cdot F_{n-1}+2=(F_{n-1}-2)\cdot F_{n-1}+2$

$=(2^{2^{n-1}}+1-2)\cdot (2^{2^{n-1}}+1)+2$

$=(2^{2^{n-1}}-1)\cdot (2^{2^{n-1}}+1)+2$

$={\left(2^{2^{n-1}}\right)}^2-1+2=2^{2^n}+1=F_n$

1. Corolari de la propietat anterior: Cap número de Fermat pot ser la suma de dos número primo. Com tots els números de Fermat són impars, un dels sumants deu ser 2. Llavors, l'atre tindrà que ser, o be 1 (en el cas de F₀ = 3) o be el producte de tots els anteriors... pero precisament en ser un producte de número natural no pot ser primer.
2. Dos números de Fermat distints sempre són cosins entre sí (és dir, no tenen cap factor comú). Se sap que F_n = F₀·F₁·...·F_n-1 + 2. Com tots els números de Fermat són impars (i per tant 2 no pot ser un factor comú), es conclou que F_n no és divisible per cap dels factors dels anteriors números de Fermat. Un corolari d'açò és una demostració de l'infinitud dels número primo (vore artícul).
3. Carl Friedrich Gauss va demostrar que existix una relació entre la construcció de polígons regulars en regla i compàs i els número primo de Fermat: un polígon regular de n costats pot ser construït en regla i compàs si i solament si n és, o be una potència de 2, o be el producte d'una potència de 2 i cosins de Fermat distints entre sí.

1. Tot número compuesto de Fermat $F_n=2^{2^n}+1$ es pot descompondre en factors primers de la forma k·2ⁿ⁺² + 1, en k sancer positiu.
2. La representació hexadecimal d'un número de Fermat major és especialment senzilla: per a cada n major o igual que 2, F_n = 10...01_hex, a on hi ha 2^n-2 - 1 zeros.