Factorización

El polinomi x² + cx + d, a on *a + b = c* i *ab = d*, pot ser factorizado com (*x + a*)(*x + b*)

En matemàtiques la factorización és una tècnica que consistix en la descomposició en factors d'una expressió algebraica (que pot ser un número, una suma o resta, una matriu, un polinomi, etc.) en forma de producte. Existixen distints métodos de factorización, depenent dels objectes matemàtics estudiats; l'objectiu és simplificar una expressió o reescriure-la en térmens de «blocs fonamentals», que reben el nom de factors, com per eixemple un número en número primo, o un polinomi en polinomis irreducibles.

Lo contrari de la factorisació de polinomis és la expansió, la multiplicació dels factors junts polinòmiques a un polinomi "ampliat", escrit com una simple suma de térmens.

El teorema fonamental de l'aritmètica cobrix la factorisació de número entero, i per a la factorisació de polinomis, el teorema fonamental de l'àlgebra. La factorisació de número entero molt grans en producte de factors primers requerix d'algoritmes sofisticats, el nivell de complexitat de tals algoritmes està a la base de la fiabilitat d'alguns sistemes de criptografia asimètrica com el RSA.

En resum, la factorisació és el procediment o la manera de desintegrar un número o expressió en els seus factors, i la potenciació la voltes que un número es va a multiplicar pel mateix.^[1]

Estos conceptes són útils en les matemàtiques, ya que permeten simplificar expressions algebraiques i números, lo que a la seua volta fa possible el càlcul en problemes matemàtics més difícils.

Sancers

Artícul principal → factorisació de sancers.

Pel teorema fonamental de l'aritmètica, cada sancer positiu té una única descomposició en número primo (factors primers), és dir, es pot representar de forma única com producte de factors primers.

Polinomis

Artícul principal → Factorisació de polinomis.

Les tècniques modernes per a la factorisació de polinomis són ràpides i eficients, gràcies a l'us d'idees matemàtiques sofisticades (vore Factorisació de polinomis). L'us d'equacions quadràtiques per a modelar situacions i resoldre-les usant la factorización. La factorisació és una tècnica que consistix en la descomposició d'una expressió matemàtica, en forma de producte.

Mentres que la noció general de factorisació solament significa escriure una expressió com un producte de les expressions més simples, el terme vago "simple" es definirà en major precisió per a les classes especials d'expressions. Quan existix factorisació de polinomis, açò significa que els factors són per a ser polinomis de grau més menut. Aixina, mentres $x^{2} - y = (x + \sqrt{y}) (x - \sqrt{y})$ és una factorisació de l'expressió, no és una factorisació polinòmica ya que els factors no són polinomis.^[2] Ademés, la factorisació d'un terme constant, com en $3 x^{2} - 6 x + 12 = 3 (x^{2} - 2 x + 4)$ no es consideraria una factorisació polinòmica ya que un dels factors no té un grau menor que l'expressió original.^[3] Una atra qüestió es referix als coeficients dels factors. En tractaments bàsics és desijable tindre els coeficients dels factors del mateix tipo que els coeficients del polinomi original, és dir factorisació de polinomis en coeficients sancers en factors en coeficients sancers, o factorisació de polinomis en coeficients reals en polinomis en coeficients reals . No sempre és possible fer açò, i un polinomi que no pot ser factorizado d'esta forma es diu que és irreducible sobre este tipo de coeficient. Per lo tant, x² -2 és irreducible sobre els número entero i x² + 4 és irreducible sobre els número real. En el primer eixemple, els número entero 1 i -2 poden també ser considerats com a número real, i si és aixina, llavors $x^{2} - 2 = (x + \sqrt{2}) (x - \sqrt{2})$ mostra que este polinomi factors sobre els reals (a voltes es diu que les divisions de polinomis sobre els reals). De la mateixa manera, ya que els número entero 1 i 4 poden ser pensats com a número complejo i, per això, x² + 4 té divisions sobre els número complejo, és dir, $x^{2} + 4 = (x + 2 i) (x - 2 i)$ .

El teorema fonamental de l'àlgebra es pot establir com: Tot polinomi de grau n en coeficients de número complejo es dividix per complet en factors llineals n. Els térmens en estos factors, que són les raïls del polinomi, poden ser reals o complexos. Des de raïls complexes de polinomis en coeficients reals vénen en parells complexos conjugats, este resultat implica que cada polinomi en coeficients reals es dividix en llineals i / o factors quadràtics irreducibles en coeficients reals (perque quan dos factors llineals en térmens conjugats complexos es multipliquen entre sí, el resultat és una quadràtica en coeficients reals). A pesar de que l'estructura de la factorisació és coneguda en estos casos, la busca dels factors reals pot ser computacionalment difícil, i per la teorema de Ruffini dels coeficients i els térmens aditius en els factors poden no ser expressable en térmens de radicals.

Un polinomi de grau n es pot factorizar en un producte de polinomis de grau $n_{i} \leq n$ en $1 \leq i \leq n$ i $\sum_{i \in I} n_{i} = n$ . Concretament es referix a factorizar un polinomi en coeficients en un cos dau o en els número entero en polinomis irreducibles en coeficients en el mateix domini.

Per eixemple el polinomi P(x) de grau 5 es pot factorizar com a producte d'un polinomi de grau 3 i un polinomi de grau 2:

P (x) = x^{5} - x^{3} + 69 x^{2} - 20 x + 16 =

(x^{3} + 4 x^{2} - x + 1) (x^{2} - 4 x + 16)

Usos

La factorisació de polinomis s'ampra en:

La resolució d'una equació algebraica P(x); usualment es considera el factor x-a i es tanteja per mig de la divisió sintètica de Ruffini. Si el restant és zero, cap l'igualtat P(x)= H(x)(x-a). I es reitera el procediment.
L'adició de fraccions algebraiques.^[4]
Integració de funcions racionals, per ad açò es descompon en fraccions parcials.^[5]

Història de la factorisació

Els estudiants que s'introduïxen en la factorisació com a principal método de resolució d'equacions quadràtiques que se sorprenga en saber que és un dels més nous métodos per a resoldre'ls. Vora Sanford senyala en la seua A Short History of Mathematics (1930)^[6] que "en vista de l'actual émfasis donat a la solució d'equacions quadràtiques per factorización, és interessant observar que este método no es va utilisar fins al treball d'Harriot en 1631. Inclús en este cas, no obstant, l'autor fa cas omís dels factors que donen lloc a les raïls negatives. "Harriot va morir en 1621, i de la mateixa manera que tots els seus llibres, est, Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraiques Resolvendas, va ser publicat despuix de la seua mort. Un artícul sobre Harriot en el lloc web de l'història matemàtica de l'Universitat de San Andrews diu que en la seua escritura personal en la resolució d'equacions Harriot va fer us de solucions tant positius com a negatius, pero el seu editor, Walter Warner, no va presentar en el seu llibre. método de factorisació de Harriot pot ser distinta de lo que els estudiants esperen modernes. En la primera secció (Secció Primera) Harriot dibuixa taules per a ilustrar la suma, resta, multiplicació i divisió de monomis, binomis, i trinomi. Després, en la segona secció que mostra una multiplicació més directa que proporciona la base per al seu método de factorización. Ell establix l'equació de $aa - ba + ca = + bc$ , i mostra que esta coincidixca en la forma de multiplicació que ha proporcionat prèviament com,

$a - b$		$aa - ba$
	(===)		(Harriot usa el signe igual de llarc introduït per Robert Recorde)
$a + c$		$ca - bc$

Aixina factorizando els quatre térmens de l'expressió ajustada $aa - ba + ca - bc$ . Este eixemple pot ser vist en la pàgina 16 de the Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraiques Resolvendas.

Harriot escriu un formulari per a cada una de les possibilitats de $(a \pm b)(a \pm c)$ en $a$ sent lo desconegut (a on podríem utilisar $x$ hui) i després, quan es deuen incorporar arreplega en una de les formes que responen. En separar el coeficient llineal en dos parts que és capaç de trencar el problema en una de les formes.

Métodos generals

Hi ha només uns pocs métodos generals que poden ser aplicats a qualsevol polinomi ya siga en una variable (la univariate case) o vàries variables (el cas de multivariables).

Factor comú

Trobant, per inspecció, el monomi que és el màxim comú divisor de tots els térmens del polinomi i factorizándolo com un factor comú que és una aplicació de la llei distributiva. Est és comunament el més usat en la tècnica de factorización. Per eixemple:^[7]

6 x^{3} y^{2} + 8 x^{4} y^{3} - 10 x^{5} y^{3} =

(2 x^{3} y^{2}) (3) + (2 x^{3} y^{2}) (4 x y) + (2 x^{3} y^{2}) (- 5 x^{2} y) =

(2 x^{3} y^{2}) (3 + 4 x y - 5 x^{2} y) .

Factor comú per agrupació de térmens

Un método que a voltes és útil, pero no garantisa que funcione, és la factorisació per mig de l'agrupació.

La factorisació per agrupació es realisa per mig de la colocació dels térmens en el polinomi en dos o més grups, a on cada grup es pot factorizar per mig d'un método conegut. Els resultats d'estes factorisació parcials es poden combinar a voltes per a donar una factorisació de l'expressió original.

Per eixemple, per a factorizar el polinomi

4 x^{2} + 20 x + 3 x y + 15 y

:

Agrupar els térmens similars, $(4 x^{2} + 20 x) + (3 x y + 15 y),$
Factorizar pel màxim comú divisor en cada agrupació, $4 x (x + 5) + 3 y (x + 5),$
Novament factorizar el factor comú del binomi, $(x + 5) (4 x + 3 y) .$

Mentres que l'agrupació no pot conduir a una factorisació en general, si l'expressió polinòmica no ha influït, consta de quatre térmens i és el resultat de multiplicar dos binomis( per la llei distributiva), llavors la tècnica d'agrupació pot conduir a una factorización, com en l'eixemple anterior.

Teorema del factor

Artícul principal → Teorema del factor.

Per a un polinomi d'una variable, p(x), el teorema del factor establix que a és una raïl del polinomi (que és, p(a) = 0, també cridat un zero del polinomi) si i solament si (x - a) és un factor de p(x). L'atre factor en una factorisació de p(x) pot ser obtingut per la divisió polinòmica o divisió sintètica.

Per eixemple, considerem el polinomi $x^{3} - 3 x + 2.$ Per inspecció veem que 1 és la raïl d'este polinomi (observem que els coeficients se sumen a 0), llavors (x - 1)és un factor del polinomi. Per divisió de llarga tenim $x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1) (x^{2} + x - 2) .$

Cas d'una variable, usant propietats de les raïls

Quan el polinomi d'una variable és completament factorizado en factors llineals (factors d'un grau), totes les raïls del polinomi són visibles i multiplicant els factors junts de nou, es pot observar la relació entre les raïls i els coeficients. Formalment, estes relacions es coneixen com fòrmules de Viète. Estes fòrmules no ajuden a factorizar el polinomi llevat com una guia per a fer bones conjectura que siguen en les possibles raïls. No obstant, si es coneix alguna informació adicional sobre les raïls, açò es pot combinar en les fòrmules per a obtindre les raïls i per lo tant la factorización.

Per eixemple,^[8] podem factorizar $x^{3} - 5 x^{2} - 16 x + 80$ si sabem que la suma de dos de les seues raïls és zero. Deixa que $r_{1}, r_{2}$ i $r_{3}$ siguen les tres ráices d'este polinomi. A continuació, les fòrmules de Viète són:

\begin{matrix} r_{1} + r_{2} + r_{3} & = 5 \\ r_{1} r_{2} + r_{2} r_{3} + r_{3} r_{1} & = - 16 \\ r_{1} r_{2} r_{3} & = - 80. \end{matrix}

Assumint que $r_{2} + r_{3} = 0$ immediatament dona $r_{1} = 5$ i reduïx les atres dos equacions a $r_{2}^{2} = 16.$ D'esta manera les raïls són 5, 4 i -4 i tenim $x^{3} - 5 x^{2} - 16 x + 80 = (x - 5) (x - 4) (x + 4) .$

Trobant raïls racionals

Si un (una variable) polinomi, f(x), té una raïl racional, p/q (p i q són sancers i q ≠ 0), llavors per la teorema del factor f(x) té el factor,

(x - \frac{p}{q}) = \frac{1}{q} (q x - p) .

Si, ademés, el polinomi f(x) té coeficients sancers, llavors q deu dividir uniformemente la part sancera del màxim comú divisor dels térmens del polinomi., i, en la factorisació de f(x), només el factor (qx - p) serà visible.

Si un (una variable) polinomi en coeficients sancers, diu,

a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n - 1} x + a_{n}

té una raïl racional p/q, a on p i q són sancers que són número primo entre sí, llavors pel teorema de la raïl racional p és un divisor sancer de a_n i q és un divisor sancer de a₀.^[9]

Si volíem factorizar el polinomi $2 x^{3} - 7 x^{2} + 10 x - 6$ podríem buscar raïls racionals p/q a on p dividix -6, q dividix 2 i p o q no tenen factor comú més gran que 1. Per inspecció veem que este polinomi no té raïls negatives. Assumir que q = 2 (de lo contrari estaríem buscant les raïls de número entero), substituir x = p/2 i colocar l'igualtat del polinomi a 0.

Multiplicant per 4, obtenim $p^{3} - 7 p^{2} + 20 p - 24 = 0$ que tindrà una solució sancera d'1 o 3 si el polinomi original tenia una raïl racional del tipo que busquem. Des de que 3 és una solució d'esta equació (i no és 1), el polinomi original tenia la raïl racional 3/2 i el factor corresponent (2x - 3). Per la divisió llarga polinòmica tenim la factorisació $2 x^{3} - 7 x^{2} + 10 x - 6 = (2 x - 3) (x^{2} - 2 x + 2) .$

Per a un polinomi de segon grau en coeficients sancers, tenint raïls racionals, les consideracions anteriors duen a una tècnica de factorisació conegut com el método ac de factorización.^[10] Suponent que el polinomi de segon grau en coeficients sancers és:

a x^{2} + b x + c

i té raïls racionals, p/q i o/v. (Si el discriminante, $b^{2} - 4 a c$ , és un número quadrat estos existixen, de lo contrari tenim solucions irracionals o complexos, i no hi haurà cap raïls racionals.) Abdós q i v deuen ser divisores dea per lo que podem escriure estes fraccions en un denominador comú de a, que és, que es poden escriure com a -r/a i -s/a (l'us dels negatius és cosmètic i conduïx a un resultat final més bonico.) Llavors,

a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) = a (\frac{1}{a} (a x + r) \frac{1}{a} (a x + s)) = \frac{(a x + r) (a x + s)}{a} .

Aixina, tenim:

a^{2} x^{2} + a b x + a c = (a x + r) (a x + s),

A on rs = ac i r + s = b. El método ac per a factorizar el polinomi de segon grau és trobar r i s, els dos factors del número ac que la seua suma és b i després utilisar-los en la fòrmula de la factorisació de l'equació quadràtica d'orige damunt.

Com a eixemple, considerem el polinomi de segon grau:

6 x^{2} + 13 x + 6.

L'inspecció dels factors de ac = 36 conduïx a 4 + 9 = 13 = b.

\begin{matrix} 6 x^{2} + 13 x + 6 & = \frac{(6 x + 4) (6 x + 9)}{6} \\ = \frac{2 (3 x + 2) (3) (2 x + 3)}{6} \\ = (3 x + 2) (2 x + 3) \end{matrix}

Patrons reconeixibles

Mentres s'està prenent el producte de dos (o més) les expressions poden fer-se seguint un algoritme de multiplicació, el procés invers de la factorisació es basa en freqüència en el reconeiximent d'un patró en l'expressió de tindre's en conte i recordant cóm sorgix un patró. Els següents són alguns patrons ben coneguts.^[11]

Diferència de dos quadrats

Artícul principal → Diferència de dos quadrats.

Un tipo comú de factorisació algebraica és per a la diferència de dos quadrats. És l'aplicació de la fòrmula

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b),

a qualsevol dels dos térmens, si són o no són quadrats perfectes.

Esta forma bàsica s'utilisa a sovint en expressions més complicades que poden no semblar a primera vista com la diferència de dos quadrats. Per eixemple,

\begin{matrix} a^{2} + 2 a b + b^{2} - x^{2} + 2 x y - y^{2} & = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) - (x^{2} - 2 x y + y^{2}) \\ = (a + b)^{2} - (x - y)^{2} \\ = (a + b + x - y) (a + b - x + y) . \end{matrix}

Suma o diferència de gavetes

Erro al crear miniatura:

Una representació visual de la factorisació de les gavetes usant volums. Per una suma de gavetes, simplement substituint z=-i.

Una atra fòrmula per a la factorisació és la suma o diferència de dos gavetes. La suma es pot factorizar per

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2}),

i la diferència per

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) .

Suma o diferència de dos potencies n-ésimas

Les factorisació n-ésima de diferències i sumixques de potències es poden ampliar a qualsevol potència sancera positiva n.

Per a qualsevol n, una factorisació general és:

a^{n} - b^{n} = (a - b) (a^{n - 1} + b a^{n - 2} + b^{2} a^{n - 3} + \dots + b^{n - 2} a + b^{n - 1}) = (a - b) \sum_{i = 0}^{n - 1} a^{n - 1 - i} b^{i} .

La fòrmula corresponent per a la suma de dos potencies n-ésimas depén de si n és parell o impar. Si n és impar, b pot es reemplaçat per −b en la fòrmula anterior, per a donar

a^{n} + b^{n} = (a + b) (a^{n - 1} - b a^{n - 2} + b^{2} a^{n - 3} - \dots - b^{n - 2} a + b^{n - 1}) .

Si n és parell, considerem dos casos:

Si n és una potència de 2 llavors $a^{n} + b^{n}$ no es pot factorizar (més precisament, irreducible sobre els número racional).
D'una atra manera, $n = m \cdot 2^{k}, m > 1, k > 0$ a on m és impar. En este cas tenim,

a^{n} + b^{n} =

(a^{2^{k}} + b^{2^{k}}) (a^{n - 2^{k}} - a^{n - 2 \cdot 2^{k}} b^{2^{k}} + a^{n - 3 \cdot 2^{k}} b^{2 \cdot 2^{k}} - \dots - a^{2^{k}} b^{n - 2 \cdot 2^{k}} + b^{n - 2^{k}}) =

(a^{2^{k}} + b^{2^{k}}) \sum_{i = 1}^{m} a^{(m - i) 2^{k}} (- b^{2^{k}})^{i - 1} .

En concret, per a alguns valors menuts de n tenim:

a^{5} + b^{5} = (a + b) (a^{4} - a^{3} b + a^{2} b^{2} - a b^{3} + b^{4}),

a^{5} - b^{5} = (a - b) (a^{4} + a^{3} b + a^{2} b^{2} + a b^{3} + b^{4}) .

a^{6} + b^{6} = (a^{2} + b^{2}) (a^{4} - a^{2} b^{2} + b^{4}),

a^{6} - b^{6} = (a^{3} + b^{3}) (a^{3} - b^{3}) = (a + b) (a - b) (a^{2} - a b + b^{2}) (a^{2} + a b + b^{2}) .

a^{7} + b^{7} = (a + b) (a^{6} - a^{5} b + a^{4} b^{2} - a^{3} b^{3} + a^{2} b^{4} - a b^{5} + b^{6}),

a^{7} - b^{7} = (a - b) (a^{6} + a^{5} b + a^{4} b^{2} + a^{3} b^{3} + a^{2} b^{4} + a b^{5} + b^{6}) .

Suma o diferència de dos potencies n-ésimas sobre el camp dels número algebraico

Les factorisació anteriors donen factors en coeficients en el mateix camp que les de l'expressió de ser factorizada, per eixemple, un polinomi en coeficients racionals (± 1 en molts casos anteriors) es dividix en factors que per sí mateixos tenen coeficients racionals. No obstant, una factorisació en factors en número algebraico com a coeficients pot produir factors de menor grau, de la mateixa manera que en les següents fòrmules que es poden demostrar en ajuda de les raïls complexes conjugades de $f (a) = a^{n} \pm b^{n} :$

La suma de dos térmens que tenen potencies parells iguals és factorizada

a^{2 n} + b^{2 n} = \prod_{k = 1}^{n} (a^{2} \pm 2 a b \cos \frac{(2 k - 1) π}{2 n} + b^{2}) .

La diferència de dos térmens que tenen potencies parells iguals és factorizada

a^{2 n} - b^{2 n} = (a - b) (a + b) \prod_{k = 1}^{n - 1} (a^{2} \pm 2 a b \cos \frac{k π}{n} + b^{2}) .

La suma o diferència de dos térmens que tenen potències impars es factoriza

a^{2 n + 1} \pm b^{2 n + 1} = (a \pm b) \prod_{k = 1}^{n} (a^{2} \pm 2 a b \cos \frac{2 k π}{2 n + 1} + b^{2}) =

(a \pm b) \prod_{k = 1}^{n} (a^{2} \pm 2 a b (- 1)^{k} \cos \frac{k π}{2 n + 1} + b^{2}) .

Per eixemple, la suma o diferència de dos potències quintes es factoriza

a^{5} \pm b^{5} = (a \pm b) (a^{2} \mp \frac{1 - \sqrt{5}}{2} a b + b^{2}) (a^{2} \mp \frac{1 + \sqrt{5}}{2} a b + b^{2}),

i la suma de dos potències quartes es factoriza a

a^{4} + b^{4} = (a^{2} - \sqrt{2} a b + b^{2}) (a^{2} + \sqrt{2} a b + b^{2}) .

Expansions binomiales

Erro al crear miniatura:

Una ilustració visual de l'identitat (a + b)² = a² + 2ab + b²

El teorema del binomi suministra patrons de coeficients que permeten factorisació fàcilment reconeguts quan el polinomi és una potència d'un binomi.

Per eixemple, el trinomi quadrat perfecte són els polinomis de segon grau que es pot factorizar com es mostra a continuació:

a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2},

i

a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2} .

Alguns polinomis cúbics, es poden factorizar com a gaveta perfecta de la següent manera:

a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = (a + b)^{3},

i

a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = (a - b)^{3} .

En general, els coeficients del polinomi expandit $(a + b)^{n}$ vénen daus per la 'enèsima' fila del triàngul de Pascal. Els coeficients de $(a - b)^{n}$ tenen el mateix valor absolut, pero en signes alternats.

Atres fòrmules de factorisació

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 (x y + y z + x z) & = (x + y + z)^{2} \\ x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z & = (x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - x z - y z) \\ x^{3} + y^{3} + z^{3} + 3 x^{2} (y + z) + 3 y^{2} (x + z) + 3 z^{2} (x + y) + 6 x y z & = (x + y + z)^{3} \\ x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4} & = (x^{2} + x y + y^{2}) (x^{2} - x y + y^{2}) . \end{matrix}

L'us de fòrmules de raïls del polinomi

Qualsevol polinomi de segon grau d'una variable (polinomis de la forma $a x^{2} + b x + c$ ) es pot factorizar sobre el camp dels número complejo utilisant la fòrmula quadràtica, com seguix:

a x^{2} + b x + c = a (x - α) (x - β) = a (x - \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}) (x - \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}),

a on $α$ i $β$ són les dos raïls del polinomi, ya siguen abdós reals o complexes en el cas a on a, b, c són tots reals, trobades en la fòrmula quadràtica.

La fòrmula quadràtica és vàlida per a tots els polinomis en coeficients en qualsevol camp (en particular, els número real o complexos) llevat eixos que tenen característica dos.^[12]

També hi ha fòrmules per a cúbiques i cuárticas, polinomis que es poden utilisar de la mateixa manera. No obstant, no hi ha fòrmules algebraiques en térmens dels coeficients que s'apliquen a tots els polinomis d'una variable d'un grau més alt, pel teorema d'Abel-Ruffini.

Factorisació sobre els número complejo

Suma de dos quadrats

Si a i b representen número real, llavors la suma dels seus quadrats pot ser escrita com el producte de número complejo. Açò produïx la fòrmula de factorización:

a^{2} + b^{2} = (a + b i) (a - b i) .

Per eixemple, $4 x^{2} + 49$ pot ser factorizada en $(2 x + 7 i) (2 x - 7 i)$ .

Vore també

Referències

↑ (2012) Publishers' International ISBN Directory 2013, De Gruyter. ISBN 978-3-11-027802-6.
↑ Fite 1921, p. 20
↑ Even if the 3 is thought of as a constant polynomial baix that this could be considered a factorization into polynomials.
↑ González -Mancil. Àlgebra elemental moderna
↑ Piskunov. Càlcul diferencial i integral
↑ (2008).«A Short History of Mathematics».Read Books.
↑ Fite 1921, p. 19
↑ Burnside & Panton 1960, p. 38
↑ Dickson 1922, p. 27
↑ Stover, Christopher AC Method - Mathworld
↑ Selby 1970, p. 101
↑ En estos camps 2 = 0 per lo que la divisió en la fòrmula no és vàlida. Hi ha atres maneres de trobar les raïls d'equacions quadràtiques més d'estos camps.

Bibliografia

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Factorización» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] (2012) Publishers' International ISBN Directory 2013, De Gruyter. ISBN 978-3-11-027802-6.

[2] Fite 1921, p. 20

[3] Even if the 3 is thought of as a constant polynomial baix that this could be considered a factorization into polynomials.

[4] González -Mancil. Àlgebra elemental moderna

[5] Piskunov. Càlcul diferencial i integral

[6] (2008).«A Short History of Mathematics».Read Books.

[7] Fite 1921, p. 19

[8] Burnside & Panton 1960, p. 38

[9] Dickson 1922, p. 27

[10] Stover, Christopher AC Method - Mathworld

[11] Selby 1970, p. 101

[12] En estos camps 2 = 0 per lo que la divisió en la fòrmula no és vàlida. Hi ha atres maneres de trobar les raïls d'equacions quadràtiques més d'estos camps.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]