Equació de quart grau

En àlgebra, una equació de quart grau o equació cuártica en una incògnita és una equació algebraica que assumix l'anomenada forma canònica:

Gràfic d'una funció polinòmica de quart grau.

a on a, b, c, d i i (sent $a\ne 0$) són números que pertanyen a un cos, usualment als racionals $\mathbb{Q}$ i ocasionalment són els número real o els complexos $ℂ$.

Cas general

Siga K un cos, a on es poden extraure raïls quadrades i cúbiques i per lo tant també de quart orde, puix equival a extraure raïls quadrades dos voltes seguides. En este cos, és possible factorizar per tot a, i l'identitat següent és vàlida: $(a-b{)}^4=a^4-4a^{3}b+6a^2{b}^2-4a{b}^3+b^4$.

En un cos algebraicamente tancat, se sap que tot polinomi de grau 4 té quatre raïls. És el cas del cos dels complexos, segons el Teorema Fonamental de l'Àlgebra.

Equació cuártica en cos finit

• Resoldre l'equació en el conjunt {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

$x^4-x^2-240=0$

una raïl en el conjunt finit dels restants de sancers de mòdul 11, o siga F[11] és

$x=4$

Per mig de la divisió sintètica queda $(x+1)(x^3-x^2)-240=0$

Característiques

• Si el terme independent té signe - té per lo manco una raïl real.
• Si el número complex $z=a+bi$ és la raïl d'una equació cuártica, també ho és el seu conjugat $z^{\prime }=a-bi$.
• La gràfica d'una funció polinòmica (generatriz d'equació) talla a l'eix X en 0, 1, 2, 3 o 4 punts.

Un cas senzill

Esta equació cuártica

$x^4+x^3+x^2+x+1=0,$

que és unitària, com a polinomi per a valors reals mai s'anula.

Per lo tant les seues quatre raïls són complexes, en parells de conjugats. Precisament la raïls quintes primitives de l'unitat. Estructurades sobre la base de sen i coseno de $\frac{2\pi }{5}$ radianes i els seus múltiples fins al quarto.

Métodos resolutius

Existixen métodos resolutius per a resoldre equacions de quart grau, en els quals podem aplegar a les solucions d'estes, per lo que el conjunt dels número real no és algebraicamente tancat, resultant sempre en quatre solucions, comunament en dos solucions reals i dos solucions complexes conjugades (pero no sempre pot resultar aixina). Es pot aproximar les solucions de l'equació en el método de Newton-Raphson, pero solament s'obtindrà una de les solucions reals, fent que este método resulte molt desventajoso per les seues llimitacions en el context del càlcul infinitesimal.

Factorisació

Siga $P(x)=a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e$ el polinomi al que es vol trobar les seues raïls els coeficients de les quals són sancers, considerem a un factor llineal $Q(x)=qx-p$ com un dels divisores de dit polinomi, a on és possible trobar un cocient $R(x)$ de tercer grau que pot ser resolt aplicant factorisació novament, o resolent-ho pel método de Cardano (si dit cocient cúbic és irreducible per factors racionals). En efectuar la divisió de $P(x)$ i $Q(x)$, obtenim el cocient $R(x)$ dau per

$R(x)=\frac{a}{q}{x}^3+\frac{bq+ap}{q^2}{x}^2+\frac{c{q}^2+bpq+a{p}^2}{q^3}x+\frac{d{q}^3+cp{q}^2+b{p}^{2}q+a{p}^3}{q^4}$,

el residu resultant del qual és:

$S(x)=\frac{e{q}^4+dp{q}^3+c{p}^2{q}^2+d{p}^{3}q+a{p}^4}{q^4}$,

per lo que si $S(x)=0$, llavors $x_1=\frac{p}{q}$ és una raïl racional de $P(x)$ i per tant, és una divisió exacta. No obstant, si $S(x)\ne 0$, llavors $P(x)$ és un polinomi irreducible, i deu resoldre's per métodos alternatius.

Método de Ferrari

Siga l'equació cuártica

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$,

Es reduïx a la forma mónica dividint per $a$:

$x^4+B{x}^3+C{x}^2+Dx+E=0$,

a on

$B=\frac{b}{a},C=\frac{c}{a},D=\frac{d}{a},E=\frac{e}{a}$

La seua equació cúbica resolvent és:

$y^3-C{y}^2+(BD-4E)y+(4CE-B^{2}E-D^2)=0$,

que pot ser resolta pel método de Cardano, a on $y$ és considerada una raïl real d'esta (sense importar si és una raïl real positiva o negativa), sent de primera prioritat la primera raïl. No obstant, la naturalea de les raïls de l'equació cúbica resolvent determinarà les solucions de l'equació original, considerant les següents possibilitats:

• 1) Si l'equació cúbica resolvent té una raïl real, l'equació cuártica tindrà dos solucions reals i dos solucions complexes conjugades.
• 2) Si l'equació cúbica resolvent té dos o tres raïls reals, l'equació cuártica tindrà quatre solucions de manera aleatòria definides aixina:
• a) Quatre solucions reals distintes.
• b) Dos parells de solucions complexes conjugades.
• c) Dos raïls reals dobles.
• d) Una raïl real simple i una raïl real triple.
• i) Una raïl real cuádruple.
• f) Una raïl real doble i dos solucions complexes conjugades.
• g) Dos raïls complexes conjugades dobles.
• h) Una raïl real doble i dos raïls reals simples.

Una volta obtenim la raïl positiva de l'equació cúbica resolvent, calculem els següents valors:

$m=\sqrt{\frac{B^2}{4}-C+y}$

$n=\sqrt{\frac{y^2}{4}-E};Sim=0$

$n=\frac{2D-By}{4m};Sim\ne 0$

D'estos valors, resoldrem dos equacions quadràtiques:

$x^2+(\frac{B}{2}+m)x+(\frac{y}{2}-n)=0$

$x^2+(\frac{B}{2}-m)x+(\frac{y}{2}+n)=0$

En resoldre-les per la fòrmula quadràtica, obtenim les solucions de l'equació cuártica original:

$\{\begin{array}{c}{x}_1=\frac{1}{2}[(-\frac{B}{2}-m)+\sqrt{\frac{B^2}{4}+Bm+m^2-2y-4n}]\\ x_2=\frac{1}{2}[(-\frac{B}{2}-m)-\sqrt{\frac{B^2}{4}+Bm+m^2-2y-4n}]\\ x_3=\frac{1}{2}[(-\frac{B}{2}+m)+\sqrt{\frac{B^2}{4}-Bm+m^2-2y+4n}]\\ x_4=\frac{1}{2}[(-\frac{B}{2}+m)-\sqrt{\frac{B^2}{4}-Bm+m^2-2y+4n}]\end{array}$

Método de Descartes

Siga l'equació cuártica

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$

Dividim l'equació inicial per la component cuártica, obtenim:

$x^4+\frac{b}{a}{x}^3+\frac{c}{a}{x}^2+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}=0$

Procedim a realisar una transformació de Tschirnhaus, és dir, substituir $x=w-\frac{b}{4a}$ per a convertir-la en la seua forma reduïda:

$w^4+j{w}^2+kw+l=0$,

les components del qual es donen per:

$j=\frac{c}{a}-\frac{3b^2}{8a^2}=\frac{8ac-3b^2}{8a^2}$

$k=\frac{d}{a}-\frac{bc}{2a^2}+\frac{b^3}{8a^3}=\frac{b^3-4abc+8a^{2}d}{8a^3}$

$l=\frac{e}{a}-\frac{bd}{4a^2}+\frac{b^{2}c}{16a^3}-\frac{3b^4}{256a^4}=\frac{256a^{3}e-64a^{2}bd+16a{b}^{2}c-3b^4}{256a^4}$

L'equació cúbica resolvent del método de Descartes és:

$y^3+2j{y}^2+(j^2-4l)y-k^2=0$

No obstant, a diferència de l'equació cúbica resolvent del método de Ferrari, una de les seues raïls reals deu ser positiva, en la que resoldrem dos equacions quadràtiques:

$w^2+\sqrt{y}w+\frac{j+y-\frac{k}{\sqrt{y}}}{2}=0$

$w^2-\sqrt{y}w+\frac{j+y+\frac{k}{\sqrt{y}}}{2}=0$

En resoldre-les per la fòrmula quadràtica, llavors les solucions de l'equació cuártica reduïda són (ordenant-les per signes positius i negatius):

$\{\begin{array}{c}{w}_1=\frac{1}{2}(\sqrt{y}+\sqrt{-y-2j-\frac{2k}{\sqrt{y}}})\\ w_2=\frac{1}{2}(\sqrt{y}-\sqrt{-y-2j-\frac{2k}{\sqrt{y}}})\\ w_3=\frac{1}{2}(-\sqrt{y}+\sqrt{-y-2j+\frac{2k}{\sqrt{y}}})\\ w_4=\frac{1}{2}(-\sqrt{y}-\sqrt{-y-2j+\frac{2k}{\sqrt{y}}})\end{array}$

Com l'objectiu és trobar les solucions de l'equació original, utilisem la següent fòrmula:

$x_n=w_n-\frac{b}{4a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{e}n=1,2,3,4.$

Per tant, reemplacem $w$ en la fòrmula per a $n=1,2,3,4$:

$\{\begin{array}{c}{x}_1=\frac{1}{2}(\sqrt{y}+\sqrt{-y-2j-\frac{2k}{\sqrt{y}}})-\frac{b}{4a}\\ x_2=\frac{1}{2}(\sqrt{y}-\sqrt{-y-2j-\frac{2k}{\sqrt{y}}})-\frac{b}{4a}\\ x_3=\frac{1}{2}(-\sqrt{y}+\sqrt{-y-2j+\frac{2k}{\sqrt{y}}})-\frac{b}{4a}\\ x_4=\frac{1}{2}(-\sqrt{y}-\sqrt{-y-2j+\frac{2k}{\sqrt{y}}})-\frac{b}{4a}\end{array}$

Bibliografia

1. Àlgebra superior de A. Adrian Albert
2. Curse d'Àlgebra superior de A. G. Kurosch
3. OTRAS SOLUCIONES ALGEBRAICAS A LAS ECUACIONES POLINÓMICAS DE TERCER I CUARTO GRADO de LUIS ALBERTO RAMÍREZ CASTELLANOS, revista de matemàtica de l'universitat de l'Atlàntic, MATUA, vol. 5 N.º 2 2018.

Vore també

• Equació
• Sistema d'equacions
• Curva cuártica

• Equació de primer grau
• Equació de segon grau
• Equació de tercer grau

• Equació de quint grau
• Equació de sext grau
• Equació de sèptim grau
• Equació d'octau grau