Método de Ferrari

El método de Ferrari és un método algebraic que s'utilisa per a resoldre de manera analítica qualsevol equació de quart grau, descobert pel matemàtic italià Ludovico Ferrari, en el respal del seu mentor Gerolamo Cardano. Este método és el primer de varis que tracten sobre la resolució d'equacions de quart grau, com els métodos de Descartes, Euler i Lagrange.

Història breu

Se li acredita a Ludovico Ferrari la solució de l'equació de quart grau en l'any 1540, pero des de la solució d'esta, com tota solució algebraica de l'equació cuártica, requerix trobar la solució d'una equació cúbica resolvent, per lo que açò no podia ser publicat immediatament. La solució de l'equació cuártica va ser publicada junt en la de l'equació cúbica per Gerolamo Cardano, mentor de Ferrari, en l'obra "Ars magna" en 1545.

Estratègia general del método

Forma reduïda

Siga l'equació de quart grau

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$,

La seua forma reduïda és:

$z^4+p{z}^2+qz+r=0$,

a on

$p=\frac{8ac-3b^2}{8a^2}$,

$q=\frac{8a^{2}d-4abc+b^3}{8a^3}$,

$r=\frac{256a^{3}e-64a^{2}bd+16a{b}^{2}c-3b^4}{256a^4}$.

La seua equació cúbica resolvent és

$y^3+2p{y}^2+(p^2-4r)y-q^2=0$,

resolta pel método de Cardano a on $y$ és una raïl real d'esta, en cas que l'equació resolvent tinguera dos o tres raïls reals, es pren com a primera prioritat la primera raïl (no obstant, dita raïl deu ser positiva com a restricció important).

En trobar una raïl de $y$, les solucions de l'equació de quart grau original seran donades de la següent forma:

$x_1=\frac{\sqrt{y}+\sqrt{-y-2p-\frac{2q}{\sqrt{y}}}}{2}-\frac{b}{4a}$

$x_2=\frac{\sqrt{y}-\sqrt{-y-2p-\frac{2q}{\sqrt{y}}}}{2}-\frac{b}{4a}$

$x_3=\frac{-\sqrt{y}+\sqrt{-y-2p+\frac{2q}{\sqrt{y}}}}{2}-\frac{b}{4a}$

$x_4=\frac{-\sqrt{y}-\sqrt{-y-2p+\frac{2q}{\sqrt{y}}}}{2}-\frac{b}{4a}$

Forma mónica

Siga l'equació de quart grau

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+dx+e=0$,

esta es pot reescriure en la seua forma mónica (en dividir entre $a$) com:

$x^4+B{x}^3+C{x}^2+Dx+E=0$,

a on

$B=\frac{b}{a},C=\frac{c}{a},D=\frac{d}{a},E=\frac{e}{a}$.

La seua equació cúbica resolvent és:

$y^3-C{y}^2+(BD-4E)y+(4CE-B^{2}E-D^2)=0$,

també resolta pel método de Cardano, en la qual, a diferència de la resolució en l'equació cúbica resolvent de la forma reduïda, $y$ també pot ser una raïl real negativa (és dir, que en la forma mónica es permet que dita raïl puga ser un valor positiu o negatiu). De dita raïl es calculen els següents dos valors:

$m=\sqrt{\frac{B^2}{4}-C+y}$

$n=\sqrt{\frac{y^2}{4}-E}$

En els valors de $m$ i $n$ obtinguts, resolem dos equacions quadràtiques:

$x^2+(\frac{B}{2}+m)x+(\frac{y}{2}-n)=0$,

$x^2+(\frac{B}{2}-m)x+(\frac{y}{2}+n)=0$,

les solucions del qual constituïxen les solucions de l'equació de quart grau, sent les següents:

$x_1=\frac{1}{2}[(-\frac{B}{2}-m)+\sqrt{\frac{B^2}{4}+Bm+m^2-2y+4n}]$

$x_2=\frac{1}{2}[(-\frac{B}{2}-m)-\sqrt{\frac{B^2}{4}+Bm+m^2-2y+4n}]$

$x_3=\frac{1}{2}[(-\frac{B}{2}+m)+\sqrt{\frac{B^2}{4}-Bm+m^2-2y-4n}]$

$x_4=\frac{1}{2}[(-\frac{B}{2}+m)-\sqrt{\frac{B^2}{4}-Bm+m^2-2y-4n}]$

Vore també

• Transformació de Tschirnhaus
• Cúbica resolvent
• Equació de quart grau
• Método de Cardano
• Ludovico Ferrari
• Gerolamo Cardano
• Teorema fonamental de l'àlgebra