Cúbica resolvent

Archiu:Resolvente.png

Gràfic de la funció polinòmica x⁴ + x³ – x² – (7/4)x – 1/2 (en vert) junt en el gràfic de la seua cúbica resolvent R₄(i) (en roig). Les raïls d'abdós polinomis també són visibles

En àlgebra, una equació cúbica resolvent és un de varis polinomis cúbics distints, encara que relacionats, definits a partir d'un polinomi mónico de grau quatre:

$P(x)=x^4+a_1{x}^3+a_2{x}^2+a_{3}x+a_4$

En cada cas:

• Els coeficients de la cúbica resolvent es poden obtindre a partir dels coeficients de $P(x)$ utilisant solament sumes, restes i multiplicacions.
• Conéixer les raïls de la cúbica resolvent de $P(x)$ és útil per a trobar les pròpies raïls de $P(x)$. D'ahí el nom de "cúbica resolvent".
• El polinomi $P(x)$ té una raïl múltiple si i solament si la seua cúbica resolvent té una raïl múltiple.

Definicions

Suponga's que els coeficients de $P(x)$ pertanyen a un cos $k$ que la seua característica és diferent de dos. En atres paraules, s'està treballant en un camp en el que $1+1\ne 0$. Sempre que es mencionen les raïls de $P(x)$, pertanyen a alguna extensió $K$ de $k$ tal que $P(x)$ es factoriza en factors llineals en $K[x]$. Si $k$ és el conjunt $Q$ de número racional, llavors $K$ pot ser el conjunt d'número complejo o el dels número real.

En alguns casos, el concepte de cúbica resolvent es definix solament quan $P(x)$ és una equació cuártica en forma reduïda, és dir, quan $a_1=0$.

Tinga's en conte que les definicions quarta i quinta que figuren a continuació també tenen sentit i que la relació entre estes cúbiques resolvents i $P(x)$ seguix sent vàlida si la característica de $k$ és igual a dos.

Primera definició

Suponga's que $P(x)$ és una equació cuártica reduïda, és dir, que $a_1=0$. Una possible definició de la cúbica resolvent de $P(x)$ és:

$R_1(y)=8y^3+8a_2{y}^2+(2{a_2}^2-8a_4)y-{a_3}^2.$

L'orige d'esta definició radica en aplicar el método de Ferrari per a trobar les raïls de $P(x)$. Per a ser més precisos:

$\begin{array}{cc}P(x)=0& ⟺x^4+a_2{x}^2=-a_{3}x-a_4\\ & ⟺{(x^2+\frac{a_2}{2})}^2=-a_{3}x-a_4+\frac{{a_2}^2}{4}.\end{array}$

Agregant una nova incògnita $y$ a $x^2+\frac{a_2}{2}$, s'obté:

$\begin{array}{cc}{(x^2+\frac{a_2}{2}+y)}^2& =-a_{3}x-a_4+\frac{{a_2}^2}{4}+2x^{2}y+a_{2}y+y^2\\ & =2y{x}^2-a_{3}x-a_4+\frac{{a_2}^2}{4}+a_{2}y+y^2.\end{array}$

Si esta expressió és un quadrat, solament pot ser el quadrat de

$\sqrt{2y}x-\frac{a_3}{2\sqrt{2y}}.$

Pero l'igualtat

${(\sqrt{2y}x-\frac{a_3}{2\sqrt{2y}})}^2=2y{x}^2-a_{3}x-a_4+\frac{{a_2}^2}{4}+a_{2}y+y^2$

és equivalent a

$\frac{{a_3}^2}{8y}=-a_4+\frac{{a_2}^2}{4}+a_{2}y+y^2\text{,}$

i açò és lo mateix que l'afirmació de que $R_1(y)=0$.

Si $y_0$ és una raïl de $R_1(y)$, llavors és una conseqüència dels càlculs realisats anteriorment per a concloure que les raïls de $P(x)$ són les raïls del polinomi

$x^2-\sqrt{2y_0}x+\frac{a_2}{2}+y_0+\frac{a_3}{2\sqrt{2y_0}}$

junt en les raïls del polinomi

$x^2+\sqrt{2y_0}x+\frac{a_2}{2}+y_0-\frac{a_3}{2\sqrt{2y_0}}.$

Per supost, açò no té sentit si $y_0=0$, pero ya que el terme constant de $R_1(y)$ és $a_4$, llavors $y_0$ és una raïl de $R_1(y)$ si i solament si $a_1=0$, i en este cas les raïls de $P(x)$ es poden trobar usant la fòrmula quadràtica.

Segona definició

Atra possible definició (encara suponent que $P(x)$ és una equació cuártica reduïda) és

$R_2(y)=8y^3-4a_2{y}^2-8a_{4}y+4a_2{a}_4-{a_3}^2$

L'orige d'esta definició és similar a l'anterior. Esta volta, es comença fent:

$\begin{array}{cc}P(x)=0& ⟺x^4=-a_2{x}^2-a_{3}x-a_4\\ & ⟺(x^2+y{)}^2=-a_2{x}^2-a_{3}x-a_4+2y{x}^2+y^2\end{array}$

i un càlcul similar a l'anterior mostra que esta última expressió és un quadrat si i solament si

$8y^3-4a_2{y}^2-8a_{3}y+4a_2{a}_4-{a_3}^2=0\text{.}$

Un càlcul simple mostra que

$R_2(y+\frac{a_2}{2})=R_1(y).$

Tercera definició

Una atra possible definició (novament, suponent que $P(x)$ és una equació cuártica reduïda) és

$R_3(y)=y^3+2a_2{y}^2+({a_2}^2-4a_4)y-{a_3}^2\text{.}$

L'orige d'esta definició radica en un atre método per a resoldre equacions cuárticas, a saber, el método de Descartes. Si s'intenta trobar les raïls de $P(x)$ expressant-les com a producte de dos polinomis mónicos quadràtics $x^2+\alpha x+\beta =0$ i $x^2-\alpha x+\gamma =0$, llavors

$P(x)=(x^2+\alpha x+\beta )(x^2-\alpha x+\gamma )⟺\{\begin{array}{c}\beta +\gamma -{\alpha }^2=a_2\\ \alpha (\gamma -\beta )=a_3\\ \beta \gamma =a_4.\end{array}$

Si hi ha una solució d'este sistema en $\alpha \ne 0$ (tenint en conte que la solució del sistema és certa si ${\alpha }^2\ne 0$), el sistema anterior és equivalent a

$\{\begin{array}{c}\beta +\gamma =a_2+{\alpha }^2\\ \gamma -\beta =\frac{a_3}{\alpha }\\ \beta \gamma =a_4.\end{array}$

Açò és una conseqüència de les dos primeres equacions, llavors

$\beta =\frac{1}{2}(a_2+{\alpha }^2-\frac{a_3}{\alpha })$

i

$\gamma =\frac{1}{2}(a_2+{\alpha }^2+\frac{a_3}{\alpha }).$

Despuix de reemplaçar, en la tercera equació, $\beta$ i $\gamma$ per estos valors s'obté

${(a_2+{\alpha }^2)}^2-\frac{{a_3}^2}{{\alpha }^2}=4a_4\text{,}$

i açò és equivalent a l'afirmació de que ${\alpha }^2$ és una raïl de $R_3(y)$. Llavors, novament, conéixer les raïls de $R_3(y)$ ajuda a determinar les raïls de $P(x)$.

Tinga's en conte que

$R_3(y)=R_1\left(\frac{y}{2}\right)\text{.}$

Quarta definició

Encara és possible una atra definició

$R_4(y)=y^3-a_2{y}^2+(a_1{a}_3-4a_4)y+(4a_2{a}_4-{a_1}^2{a}_4-{a_3}^2)$

De fet, si les raïls de $P(x)$ són ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ i ${\alpha }_4$, llavors

$R_4(y)=(y-({\alpha }_1{\alpha }_2+{\alpha }_3{\alpha }_4))(y-({\alpha }_1{\alpha }_3+{\alpha }_2{\alpha }_4))(y-({\alpha }_1{\alpha }_4+{\alpha }_2{\alpha }_3))\text{,}$

És un fet deduït de les relacions de Cardano-Vieta. En atres paraules, $R_4(y)$ és el polinomi mónico les raïls del qual són ${\alpha }_1{\alpha }_2+{\alpha }_3{\alpha }_4$, ${\alpha }_1{\alpha }_3+{\alpha }_2{\alpha }_4$ i ${\alpha }_1{\alpha }_4+{\alpha }_2{\alpha }_3$.

És fàcil vore açò, ya que

${\alpha }_1{\alpha }_2+{\alpha }_3{\alpha }_4-({\alpha }_1{\alpha }_3+{\alpha }_2{\alpha }_4)=({\alpha }_1-{\alpha }_4)({\alpha }_2-{\alpha }_3)\text{,}$

${\alpha }_1{\alpha }_3+{\alpha }_2{\alpha }_4-({\alpha }_1{\alpha }_4+{\alpha }_2{\alpha }_3)=({\alpha }_1-{\alpha }_2)({\alpha }_3-{\alpha }_4)\text{,}$

${\alpha }_1{\alpha }_2+{\alpha }_3{\alpha }_4-({\alpha }_1{\alpha }_4+{\alpha }_2{\alpha }_3)=({\alpha }_1-{\alpha }_3)({\alpha }_2-{\alpha }_4)\text{.}$

Per lo tant, $P(x)$ té una raïl múltiple si i solament si $R_4(y)$ té una raïl múltiple. Més precisament, $P(x)$ i $R_4(y)$ tenen el mateix discriminante.

Es deu tindre en conte que si $P(x)$ és un polinomi reduït, llavors

$\begin{array}{cc}{R}_4(y)& =y^3-a_2{y}^2-4a_{4}y+(4a_2{a}_4-{a_3}^2)\\ & =R_2\left(\frac{y}{2}\right)\end{array}$

Quinta definició

Una atra definició més és

$R_5(y)=y^3-2a_2{y}^2+({a_2}^2+a_1{a}_3-4a_4)y+{a_3}^2-a_1{a}_2{a}_3+{a_1}^2{a}_4\text{.}$

Si les raïls de $P(x)$ són ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ i ${\alpha }_4$, llavors:

$R_5(y)=(y-({\alpha }_1+{\alpha }_2)({\alpha }_3+{\alpha }_4))(y-({\alpha }_1+{\alpha }_3)({\alpha }_2+{\alpha }_4))(y-({\alpha }_1+{\alpha }_4)({\alpha }_2+{\alpha }_3))\text{,}$

novament com a conseqüència de les relacions de Cardano-Vieta. En atres paraules, $R_5(y)$ és el polinomi mónico les raïls del qual són $({\alpha }_1+{\alpha }_2)({\alpha }_3+{\alpha }_4)$, $({\alpha }_1+{\alpha }_3)({\alpha }_2+{\alpha }_4)$ i $({\alpha }_1+{\alpha }_4)({\alpha }_2+{\alpha }_3)$.

És fàcil vore açò, puix

$({\alpha }_1+{\alpha }_2)({\alpha }_3+{\alpha }_4)-({\alpha }_1+{\alpha }_3)({\alpha }_2+{\alpha }_4)=-({\alpha }_1-{\alpha }_4)({\alpha }_2-{\alpha }_3)\text{,}$

$({\alpha }_1+{\alpha }_2)({\alpha }_3+{\alpha }_4)-({\alpha }_1+{\alpha }_4)({\alpha }_2+{\alpha }_3)=-({\alpha }_1-{\alpha }_3)({\alpha }_2-{\alpha }_4)\text{,}$

$({\alpha }_1+{\alpha }_3)({\alpha }_2+{\alpha }_4)-({\alpha }_1+{\alpha }_4)({\alpha }_2+{\alpha }_3)=-({\alpha }_1-{\alpha }_2)({\alpha }_3-{\alpha }_4)\text{.}$

Per lo tant, com succeïx en $R_4(y)$, $P(x)$ té una raïl múltiple si i solament si $R_5(y)$ té una raïl múltiple. Més precisament, $P(x)$ i $R_5(y)$ tenen el mateix discriminante. Açò també és una conseqüència del fet de que $R_5(y+a_2)=R_4(y)$.

Tinga's en conte que si $P(x)$ és un polinomi cuártico reduït, llavors:

$\begin{array}{cc}{R}_5(y)& =y^3-2a_2{y}^2+({a_2}^2-4a_4)y+{a_3}^2\\ & =-R_3(-y)\\ & =-R_1(-\frac{y}{2})\text{.}\end{array}$

Aplicacions

Resolució d'equacions cuárticas

Es va explicar anteriorment cóm poden usar-se $R_1(y)$, $R_2(y)$ i $R_3(y)$ per a trobar les raïls de $P(x)$ si este polinomi està reduït. En el cas general, simplement es tenen que trobar les raïls del polinomi reduït $P(x-\frac{a_1}{4})$. Per a cada raïl $x_0$ d'este polinomi, $x_0-\frac{a_1}{4}$ és una raïl de $P(x)$.

Factorización de polinomis cuárticos

Si un polinomi cuártico $P(x)$ és reducible en $k[x]$, llavors és el producte de dos polinomis quadràtics o el producte d'un polinomi llineal per un polinomi cúbic. Esta segona possibilitat ocorre si i solament si $P(x)$ té una raïl en $k$. Per a determinar si $P(x)$ pot expressar-se o no com el producte de dos polinomis quadràtics, suponent, per simplicitat, que $P(x)$ és un polinomi reduït. Com es va vore anteriorment, si la cúbica resolvent $R_3(y)$ té una raïl no nula de la forma ${\alpha }^2$ per a alguns $\alpha \in k$, llavors existix tal descomposició polinòmica.

Açò pot usar-se per a demostrar que, en $R(x)$, cada polinomi cuártico sense raïls reals pot expressar-se com el producte de dos polinomis quadràtics. Siga $P(x)$ tal polinomi, es pot supondre sense pèrdua de generalitat que $P(x)$ és un polinomi mónico. També es pot supondre sense pèrdua de generalitat que és un polinomi reduït, perque $P(x)$ pot expressar-se com el producte de dos polinomis quadràtics si i solament si $P(x-\frac{a_1}{4})$ pot fer-ho i este polinomi és un reduït. Llavors $R_3(y)=y^3+2a_2{y}^2+({a_2}^2-4a_4)y-{a_3}^2$. Hi ha dos casos:

• Si $a_3\ne 0$ llavors $R_3(0)=-{a_3}^2>0$. Ya que $R_3(y)>0$ si $y$ és lo suficientment gran, llavors, segons el teorema del valor intermig, $R_3(y)$ té una raïl $y_0$ en $y_0>0$. Llavors, es pot prendre $\alpha =\sqrt{y_0}$.
• Si $a_3=0$, llavors $R_3(y)=y^3+2a_2{y}^2+({a_2}^2-4a_4)y$. Les raïls d'este polinomi són zero i les raïls del polinomi quadràtic $y^2+2a_{2}y+({a_2}^2-4a_4)$. Si ${a_2}^2-4a_4<0$, llavors el producte de les dos raïls d'este polinomi és menor que 0 i per lo tant té una raïl major que zero (que resulta ser $-a_2+\sqrt{a_4}$) i es pot prendre $\alpha$ com la raïl quadrada d'eixa raïl. De lo contrari, ${a_2}^2-4a_4\ge 0$, i llavors

$P(x)=(x^2+\frac{a_2+\sqrt{{a_2}^2-4a_4}}{2})(x^2+\frac{a_2-\sqrt{{a_2}^2-4a_4}}{2})\text{.}$

En térmens més generals, si $k$ és un cos tancat real, llavors cada polinomi cuártico sense raïls en $k$ pot expressar-se com el producte de dos polinomis quadràtics en $k[x]$. De fet, esta declaració pot expressar-se en llògica de primer orde i qualsevol declaració que es mantinga per a $R(x)$ també es complix per a qualsevol camp tancat real.

Es pot usar un enfocament similar per a obtindre un algoritme per a determinar si un polinomi cuártico $P(x)\in Q(x)$ és reducible i, si és aixina, cóm expressar-ho com un producte de polinomis de menor grau. Novament, supondrem que $P(x)$ és mónico i reduït. Llavors $P(x)$ és reducible si i solament si es complix a lo manco una de les següents condicions:

• El polinomi $P(x)$ té una raïl racional (açò es pot determinar utilisant el teorema de la raïl racional).
• La cúbica resolvent $R_3(y)$ té una raïl de la forma ${\alpha }^2$, per a algun número racional no nul $\alpha$ (de nou, açò es pot determinar utilisant el teorema de la raïl racional).
• El número ${a_2}^2-4a_4$ és el quadrat d'un número racional, i ademés $a_3=0$.

En efecte:

• Si $P(x)$ té una raïl racional $r$, llavors $P(x)$ és el producte de $x-r$ per un polinomi cúbic en $Q[x]$, que pot determinar-se per divisió polinòmica o per la regla de Ruffini.
• Si hi ha un número racional $\alpha \ne 0$ tal que ${\alpha }^2$ és una raïl de $R_3(y)$, ya es va mostrar anteriorment cóm expressar $P(x)$ com a producte de dos polinomis quadràtics en $Q[x]$.
• Finalment, si es complix la tercera condició i si $\delta \in Q$ és tal que ${\delta }^2={a_2}^2-4a_4$, llavors $P(x)=(x^2+\frac{a_2+\delta }{2})(x^2+\frac{a_2-\delta }{2})$.

Grups de Galois de polinomis cuárticos irreducibles

La cúbica resolvent d'un polinomi cuártico irreducible $P(x)$ pot usar-se per a determinar el seu grup de Galois G; és dir, el grup de Galois del camp de divisió de $P(x)$. Siga $n$ el grau sobre $k$ del camp de divisió de la cúbica resolvent (pot ser $R_4(y)$ o $R_5(y)$; tenen el mateix camp de divisió). Llavors, el grup $G$ és un subgrup del grup simètric $S_4$. Més precisament:

• Si $n=1$ (és dir, si els factors cúbics resolvents en factors llineals en $k$), llavors G és el grup {i, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.
• Si $n=2$ (és dir, si la cúbica resolvent té una i, llevat multiplicitat, solament una raïl en $k$), llavors, per a determinar $G$, es pot determinar si $P(x)$ seguix sent irreducible despuix d'unir al camp $k$ les raïls de la cúbica resolvent. De lo contrari, llavors $G$ és un grup cíclico de quarto orde; més precisament, és un dels tres subgrups cíclicos de $S_4$ generat per qualsevol dels seus sis cicles cuádruples. Si encara és irreducible, llavors $G$ és un dels tres subgrups de $S_4$ d'octau orde, cada u dels quals és isomorfo al grup diédrico d'octau orde.
• Si $n=3$, llavors $G$ és el grup alternante $A_4$.
• Si $n=6$, llavors $G$ és tot el grup $S_4$.

Vore també

• Teoria de Galois