Grup alternante

Grup alternante

Grup alternante

En teoria de grups, el grup alternante, també conegut com a grup alternat o subgrup alternat, denotat usualment $A_n$, és el subgrup del grup simètric $S_n$ del conjunt $\{1,2,\dots ,n\}$ format per les permutació pares. Simbòlicament:

$A_n=\{\sigma \in S_n:\sigma \text{ es par}\}=\ker (\epsilon ),$

sent

$\epsilon :S_n\to \{-1,1\}$

l'aplicació signe d'una permutació.

Propietats

$A_n$ és un subgrup normal de $S_n$. De fet, és el seu subgrup commutador, d'índex 2, i per això té $n!/2$ elements.

$A_n$ és no abeliano para $n\ge 4$.

El grup $A_4$ té a $V$ (el grup de Klein) com a subgrup propi normal. Per a $n\ge 5$, $A_n$ és un grup simple.

Vore també

• Subgrup.
• Grup cocient.
• Combinatòria.