Subgrup commutador

En matemàtiques, el subgrup commutador d'un grup G, és el subgrup generat per tots els elements de la forma

$[a,b]=ab{a}^{-1}{b}^{-1}$

denominat commutador de a en b.

Al subgrup commutador també se li coneix com a subgrup derivat de G i se simbolisa per $G^{\prime }$ o $[G,G]$. Açò significa que si $x\in [G,G]$ llavors x s'escriu com una paraula de commutadors açò és,

$x=a_1{b}_1{a_1}^{-1}{b_1}^{-1}{a}_2{b}_2{a_2}^{-1}{b_2}^{-1}\cdots a_r{b}_r{a_r}^{-1}{b_r}^{-1}$.

Es pot demostrar que [G,G] és un subgrup normal i que el grup cocient $G/[G,G]$ és abeliano. El subgrup commutador és el menor que verifica eixa propietat, és dir: si $H⊲G$ verifica que $G/H$ és abeliano llavors $[G,G]\subseteq H$.

La construcció $G/[G,G]$ rep el nom d'abelianisació de G.

Proposicions

Baumslag i Chandler en la seua Teoria de grups enuncien les següents proposicions:

• L'invers d'un commutador és un commutador.
• G'-subgrup derivat de G- és un subgrup normal en G.
• G és conmutativo si, només si G' ={i}, i.i. G és conmutativo si i solament si el seu subgrup commutador és el subgrup que conté únicament a l'element neutre.

Série normal i série derivada

Donat un grup $G$, La série derivada és una construcció iterada, definida de la següent manera:

$G^{(0)}:=G$

$G^{(n)}:=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]n\in 𝐍$

Els grups $G^{(2)},G^{(3)},\dots$ es denominen segon grup derivat, tercer grup derivat, i aixina en avant i formen la série normal descedente.

$\cdots ◃G^{(2)}◃G^{(1)}◃G^{(0)}=G$

es denomina la série derivada. Esta no deu confondre's en la série central inferior, els térmens de la qual són $G_n:=[G_{n-1},G]$.

Per a un grup finit, la série derivada termina en un grup perfecte, que pugues o no ser trivial. Per a un grup infinit, la série derivada no necessita terminar en una etapa finita, i pot continuar fins a infinits números ordinals per mig de recursión transfinita, obtenint aixina la série derivada transfinita, que finalment termina en el núcleu perfecte del grup.

Vore també

• Commutador (matemàtica)