Índex (teoria de grups)

En àlgebra abstracta (específicament en teoria de grups), l'índex d'un subgrup H en un grup G es referix al número de classes laterals que un subgrup H particiona a G.

Introducció

^[1] Cada subgrup H de G permet definir dos relaciones d'equivalència sobre G, denotades per $\sim_{H}$ (equivalència per l'esquerra) i $_{H} \sim$ (equivalència per la dreta). Es definixen com:

$\forall x, y \in G :$

$x \sim_{H} y ⟺ \exists h \in H : y = x h ⟺ x^{- 1} y \in H$

$x_{H} \sim y ⟺ \exists h \in H : y = h x ⟺ y x^{- 1} \in H$

Les anomenades classes laterals són les classes d'equivalència definides per estes relacions. Es denoten com $g H$ en el cas de $\sim_{H}$ , o be com $H g$ per a $_{H} \sim$ . Les respectives particions de G són denotades per G:H i H:G. És dir:

$G : H : = G / \sim_{H} = {g H : g \in G}$

$H : G : = G /_{H} \sim = {H g : g \in G}$

Definició

Siga G un grup i siga $H \subseteq G$ un subgrup de G. Al cardinal

$i (H, G) : = | H : G | = | G : H |$

se li denomina índex de H en G. Atres notacions freqüents per a $i (H, G)$ són $i_{G} (H)$ o també $[G : H]$ .

En el cas de que G siga finito, tenim l'identitat:

$i (H, G) = | G | / | H |$

a on s'ha utilisat la notació clàssica, |G|, per al orde d'un grup.

Referències

↑ Bujalance García, E.; Etayo Gordejuela, J. J.; Gamboa Mutuberría, J. M. (2002). «1. Generalitats. Teorema de Lagrange -- IV. Índex d'un subgrup», Quaderns de la UNED (ed.). Teoria elemental de grups (en Espanyol), Espanya: UNED. ISBN 978-84-362-4436-6.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Índice (teoría de grupos)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Bujalance García, E.; Etayo Gordejuela, J. J.; Gamboa Mutuberría, J. M. (2002). «1. Generalitats. Teorema de Lagrange -- IV. Índex d'un subgrup», Quaderns de la UNED (ed.). Teoria elemental de grups (en Espanyol), Espanya: UNED. ISBN 978-84-362-4436-6.

[1]