Classe lateral

En matemàtiques, siga G un grup, H un subgrup de G i g és un element qualsevol de G, llavors:

gH = {gh : h un element de H } és una classe lateral esquerra de H en G i

Hg = {hg : h un element de H } és una classe lateral dreta de H en G.

Solament en el cas de que H siga un subgrup normal coincidiran les classes laterals dreta i esquerra de H, la qual cosa constituïx precisament una de les definicions de la condició de normalitat d'un subgrup.

Una classe lateral és una classe lateral esquerra o dreta de algun subgrup de G. ya que Hg = g ( g⁻¹Hg ), les classes laterals dretes Hg (de H ) i les classes laterals esquerres g ( g⁻¹Hg ) (del subgrup conjugat g⁻¹Hg ) coincidixen. Per tant, no té cap sentit afirmar que una classe lateral és esquerra o dreta sense abans especificar el subgrup al que corresponen. En atres paraules: la classe lateral dreta d'un subgrup és igual a la classe lateral esquerra d'un atre subgrup (conjugat) diferent. El que una certa classe lateral siga una classe lateral dreta o esquerra dependrà de quin subgrup s'utilise.

Si estem treballant en un grup abeliano, o en un grup que s'expresse en notació aditiva, la notació utilisada per a les classes laterals canvia, amprant-se g+H i H+g, respectivament.

Eixemples

El grup cíclico aditiu Z₄ = {0, 1, 2, 3} = G té un subgrup H = {0, 2} (isomòrfic de Z₂). Les classes laterals esquerres H en G són

0 + H = {0, 2} = H

1 + H = {1, 3}

2 + H = {2, 0} = H

3 + H = {3, 1}.

Existixen, per tant, dos classes laterals diferents: el propi H i 1 + H = 3 + H. Observe que tot element de G pertany a H o a 1 + H, és dir, H ∪ (1 + H ) = G, de modo que les distintes classes laterals de H en G formen una partició de G. ya que Z₄ és un grup abeliano, les classes laterals dretes són idèntiques a les esquerres.

Un atre eixemple de classe lateral sorgix de la teoria dels espais vectorials. Els elements (vectores) d'un espai vectorial formen un grup abeliano en dotar-los de l'operació de suma vectorial. No resulta difícil demostrar que els subespacios d'un espai vectorial són subgrups de dit grup. Per a un espai vectorial V, un subespacio W i un vector fix a pertanyent a V, els conjunts

$\{x\in V:x=a+n,n\in W\}$

es denominen subespacios afins i són classes laterals (tant esquerres com a dretes, ya que el grup és abeliano). En térmens de vectores geomètrics, estos subespacios afins són totes les "llínees" o "plans" paralels al subespacio, que és una llínea o pla que passa a través de l'orige.

Propietats generals

gH és un subconjunt de H si i només si g és un element de H, ya que com a H és un subgrup, deu forçosament ser tancat i contindre l'element identitat.

Per a tot parell de classes laterals esquerres de H en G, dites classes laterals són idèntiques o disjuntas - és dir, les classes laterals esquerres formen una partició de G tal que tot element de G pertany a una i solament una classe lateral esquerra. En particular, l'element identitat pertanydrà a només una de les classes laterals, i dita classe lateral serà el propi H; aixina mateix, eixa serà l'única classe lateral en estructura de subgrup. Podem comprovar este fet fàcilment en els eixemples anteriors.

Les classes laterals esquerres de H en G són les classes d'equivalència induïdes en G per la relació d'equivalència definida per x i si i només si x ^-1i ∈ H.

Podem afirmar enunciats similars per a les classes laterals dretes.

Un representant d'una classe lateral és un representant en el sentit tradicional en parlar de classes d'equivalència. A un conjunt de representants de totes les classes laterals se li denomina travessera. Hi ha un atre tipos de relacions d'equivalència en un grup, com la conjugació, que formen classes distintes, que no exhibixen les propietats que ací hem indicat.

Índex d'un subgrup

Artícul principal → Índex_(Teoria_de_grups).

Totes les classes laterals esquerres i dretes tenen el mateix orde (número d'elements, o cardinalidad en el cas d'un H infinit), igual a l'orde de H (perque el propi H és una classe lateral). Ademés, el número de classes laterals esquerres és igual al número de classes laterals dretes i es denomina índex de H en G, que s'escriu [G : H ]. El teorema de Lagrange nos permet calcular l'índex en el cas de que G i H siguen finitos, aplicant la fòrmula:

|G | = [G : H ] • |H |.

Esta equació es complix també en el cas de que els grups siguen infinits, encara que el significat puga ser menys clar.

Classes laterals i normalitat

Si H no és normal en G, llavors les seues classes laterals esquerres diferixen de les seues classes laterals dretes. És dir, existix un a pertanyent a G tal que cap element b satisfà l'igualtat ah = Hb. Això vol dir que la partició de G en el conjunt de les classes laterals esquerres de H és distinta de la partició de G en el conjunt de les classes laterals dretes de H. (És important observar que algunes classes laterals poden coincidir. Per eixemple, si a pertany al centre de G, llavors ah = Ha.)

Per un atre costat, el subgrup N és normal si i només si gN = Ng para tot element g de G. En este cas, el conjunt de totes les classes laterals forma un grup denominat grup cocient G /N, estant l'operació ∗ definida per (aN )∗(bN ) = abN. ya que en este cas tota classe lateral dreta és, a la seua volta, una classe lateral esquerra, no hi ha cap necessitat de diferenciar les "classes laterals esquerres" de les "classes laterals dretes".

Vore també

• Classe lateral doble
• Heap
• Teorema de Lagrange
• Grup cocient