Grup cíclico

Les sis raïls sextes de l'unitat formen un grup cíclico baixe la multiplicació. z és un element generador d'este grup cíclico o element primitiu, pero z² no ho és, perque les potències impars de z no són representables com a potències de l'element z².

En teoria de grups, un grup cíclico és aquell que pot ser generat per un sol element; és dir, hi ha un element a del grup G (cridat "generador" de G), tal que tot element de G pot ser expressat com una potència de a. Si l'operació del grup es denota aditivament, es dirà que tot element de G es pot indicar com un múltiple de a, per a n sancer.

En atres paraules, G és cíclico, en generador a, si G = { aⁿ | n ∈ Z }. Ya que un grup generat per un element de G és, en sí mateixa, un subgrup de G, n'hi ha prou en demostrar que l'únic subgrup de G que conté a a és el mateix G per a provar que este és cíclico.

Per eixemple, G = { i, g¹, g², g³, g⁴, g⁵ } és cíclico. De fet, G és essencialment igual (açò és, isomorfo) al grup { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } baixe l'operació de suma mòdul 6. L'isomorfisme es pot trobar fàcilment fent g^a→ a. Contràriament a lo que sugerix la paraula "cíclico", és possible generar infinits elements i no formar mai un cicle real: és dir, que cada gⁿ siga distint. Un grup tal seria un grup cíclico infinit, isomorfo al grup Z dels sancers baixe l'adició.

Llevat isomorfismes, existix exactament un grup cíclico per a cada cantitat finita d'elements, i exactament un grup cíclico infinit. Per lo anterior, els grups cíclicos són d'algun modo els més simples, i han segut completament classificats.

Per açò, els grups cíclicos normalment es denoten simplement pel grup "canònic" al que són isomorfos: si el grup és d'orde n, per a n sancer, dit grup és el grup Z_n de sancers { 0, ..., n-1 } baixe l'adició mòdul n. Si és infinit, este és Z.

La notació Z_n comunament és evitada per teoristas dels números, ya que pot ser confosa en la notació usual per als números p-ádicos. Una alternativa és usar la notació de grup cocient, Z/nZ; una atra possible solució és denotar l'operació multiplicativament, i representar el grup C_n = { i, a¹, a², ..., a^n-1 }. No obstant, estes dos notacions no són tan populars com Z_n.

Propietats

Per lo dit ya en l'introducció, tot grup cíclico és isomorfo a Z_n, o be, a Z. Basta llavors en examinar dits grups per a entendre els grups cíclicos en general. Donat un grup cíclico G = <g> d'orde n (a on n pot valdre infinit), i daus a, b ∈ G, es té:

G és abeliano; és dir, la seua operació és conmutativa: ab = ba per a qualssevol a i b ∈ G. Açò és cert, ya que qualsevol parell de sancers a i b, a + b mód n = b + a mód n.
Si n < ∞, llavors gⁿ = i, ya que n mód n = 0.
Si n = ∞, llavors el grup té exactament dos generadors: 1 i -1 en Z, i les seues imàgens isomòrfiques en atres grups cíclicos infinits.
Tot subgrup de G és cíclico. De fet, per a n finito, tot subgrup de G és isomorfo a un Z_m, a on m és divisor de n; i si n és infinit, tot subgrup de G correspondrà a un subgrup mZ de Z (el qual és també isomorfo a Z), baixe l'isomorfisme entre G i Z.

Els generadors de Z_n són els sancers que són cosins relatius en n. El número de tals generadors es designa per φ(n), a on φ designa la funció φ de Euler. En general, si d és un divisor de n, el número d'elements de Z_n d'orde d és φ(d). L'orde de l'element m és n / mcd(m,n).

Si p és primer, l'únic grup en p elements (llevat isomorfismes) és Z_p.

El producte directe de dos grups cíclicos Z_n i Z_m és cíclico si i solament si m i n són cosins entre sí; en tal cas, el grup obtingut serà isomorfo a Z_nm. Per eixemple, Z₁₂ és isomorfo a Z₃×Z₄, pero no a Z₆×Z₂.

La teorema fonamental dels grups abelianos afirma que tot grup abeliano finitamente generat és isomorfo al producte directe d'un número finito de grups cíclicos.

Z_n i Z són també anells conmutativos. Si n és un número primo, Z_n és un cos finito, també denotat per F_n o GF(n). Qualsevol atre cos en n elements és isomorfo al ya descrit.

Subgrups

Tots els subgrups i grups cocients d'un grup cíclico són, a la seua volta, cíclicos. En particular, els subgrups de Z són de la forma mZ a on m ≥ 0 és un número entero. Tots estos són diferents, i salve pel grup trivial (en m=0) són tots isomorfos a Z. El retícul de subgrups de Z és isomorfo al dual del retícul de número natural ordenats per divisibilidad. Tots els grups cocients de Z són finitos, salve per l'excepció trivial Z/{0}. Per a tot divisor positiu d de n, el grup Z/nZ (isomorfo a Z_n, i algunes voltes inclús pres com a definició d'este) té exactament un subgrup d'orde d, a saber, el generat per la classe residual de n/d; no hi ha més subgrups de Z/nZ. El retícul de subgrups és llavors isomorfo al de divisores de n, ordenats per divisibilidad (el qual és isomorfo al seu propi dual).

En particular, un grup cíclico és simple si i solament si la seua orde (el número dels seus elements) és primer.

Donat un grup cíclico C d'orde n, en generador g, el tamany del subgrup generat per g^k per a un sancer k serà el mínim sancer positiu m tal que mk és múltiple de n; fàcilment es pot demostrar que m = n/mcd(k,n). L'índex del subgrup generat per g^k (açò és, el tamany del grup cocient C/<g^k>) és, per lo tant, mcd(k,n).

Este subgrup cíclico del grup G , generat per l'element s, és sempre conmutativo encara que no ho siga el mateix grup G.

Vore també

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Grupo cíclico» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.