Conjunt generador d'un grup

En teoria de grups, un conjunt generador d'un grup G és un subconjunt S de G tal que tot element de G pot ser expressat com el producte d'un número finito d'elements de S i dels seus inversos.

Més generalment, si S ⊆ G, <S> és el mínim subgrup de G que conté a S, cridat subgrup generat per S; equivalentement, <S> és el subgrup de G conformat per tots els elements que poden ser expressats com el producte d'un número finito d'elements de S i dels seus inversos.

Si G = <S>, es diu que S genera a G, i els elements de S es diuen generadors de G. Si S = ∅, llavors <S> és el grup trivial {i} (la qual cosa concorda en la primera definició del subgrup generat), ya que el resultat d'un producte buit es definix com l'element neutre.

Si S = {x}, <S> és el subgrup conformat per les potències de x, el qual és un grup cíclico (més precisament, un subgrup cíclico de G), usualment denotat per <x>; es diu que este grup és generat per x. Dir que x genera el grup G és equivalent a dir que <x> = G, cas en el qual G mateixa seria un grup cíclico; si G té tamany finito, qualsevol d'eixes dos condicions és equivalent a que x tinga orde |G|.

Grups finitamente generats

Si el conjunt S és finito, un grup G = <S> es diu finitamente generat. L'estructura dels grups abelianos finitamente generats és particularment fàcil de descriure. Molts de les teoremes que són certs per a grups finitamente generats fallen en general per als atres grups.

Tot grup finito és finitamente generat, puix G = <G>. Pel contrari, el grup Z de sancers baixe l'adició és un eixemple d'un grup infinit que és finitamente generat, be siga per <1>, be siga per <−1> (en la qual cosa és també cíclico). El grup Q de número racional baixe l'adició té la mateixa cardinalidad de Z, pero no pot ser finitamente generat. Cap grup incontable (açò és, de cardinalidad estrictament major que la de Z) pot ser finitamente generat.

Un mateix grup pot tindre varis conjunts generadors diferents. Per eixemple, si p i q són sancers cosins entre sí, llavors <{p, q}> genera també a Z.

Tot grup cocient d'un grup finitamente generat és, a la seua volta, finitamente generat; en canvi, un subgrup d'un grup finitamente generat pugues no ser-ho. Per eixemple, si G és el grup lliure en dos generadors, x i i, és clar que G és finitamente generat; no obstant, si S és el conjunt conformat per tots els elements de la forma iⁿxy⁻ⁿ, a on n és un número natural, és clar que <S> és isomorfo al grup lliure en contables generadors, en la qual cosa no pot ser finitamente generat. Para grups abelianos, no obstant, val que tot subgrup d'un grup finitamente generat és també finitamente generat.

Grups lliures

El grup més general possible generat per un conjunt S és el grup lliurement generat per S. Tot grup generat per S és isomorfo a un grup cocient d'aquell.

Vore també

• Grafo de Cayley
• Presentació de grup