Presentació de grup

En àlgebra abstracta, una presentació és una forma de definir un grup per mig de l'especificació de dos conjunts:

• S, conjunt dels generadors, de modo que tot element del grup puga expressar-se com a producte d'elements de S.
• R, conjunt de les relacions, igualtats entre elements del grup.

La presentació d'un grup G sol escriure's en la forma $⟨S\mid R⟩$. En les relacions en que el segon membre de l'igualtat siga l'element neutre del grup, sol ometre's l'igualtat i l'element neutre. Per eixemple:

$G=<a,b,c,d\mid b^9,cbcbcb,cb{c}^{-1}{b}^{-1}>$

indica que el grup G està generat per a, b, c, d ; i el conjunt de relacions nos indica que b⁹= i, és dir, b és d'orde 9, cb és d'orde 3, i que c i b commuten.

Introducció informal

Cridem paraula a qualsevol producte d'elements del grup o dels seus inversos. Per eixemple, si x, i, z són elements d'un grup G, llavors xy, z^-1xzz són paraules en el conjunt {x, i, z}.

Direm que un grup G està generat per un conjunt S, si és possible descriure tot element de G com a producte de la forma

x₁^a₁ x₂^a₂ ... x_n^a_n

a on tots els x_i són elements de S, i cada a_i és un número entero. És dir, si tot element de G pot expressar-se com una paraula en S.

Si G no és un grup lliure, molts d'estos productes seran iguals. Serà necessari precisar totes estes relacions a partir d'un conjunt R de relacions bàsiques de les que es deduïxquen les demés,

Definició

Per a definir el concepte de presentació d'un grup, és necessari precisar que significa que una relació se satisfà en un grup donat. Per a açò, es recorre als grups lliures, a través dels quals es pot representar una relació entre productes de generadors d'un grup com una paraula en el grup lliure. Considerem, per eixemple, el conjunt de símbols $X$ i el grup lliure sobre $X$, representat per $F_X$. Si $p$ i $q$ són paraules del grup lliure $F_X$, llavors la relació $p=q$ pot representar-se per $p{q}^{-1}=1$, i convindre que el costat dret sempre és $1$ nos permet fixar-nos només en la paraula $p{q}^{-1}$. Aixina, tenim que tota relació entre els elements d'un grup poden expressar-se com una paraula de $F_X$ per a cert conjunt $X$. ya que els símbols de $X$ no són els símbols d'un grup $G$, és necessari "traduir-los" a elements de $G$ per mig d'una funció $f:X⟶G$, i aixina podem dir que una relació de grup en elements en un conjunt $X$ se satisfà en un grup $G$ per mig d'una funció $f$ si en interpretar la relació com un producte en $G$ (canviant lletres per la seua image per $f$) el resultat és $1_G$, l'element neutre de $G$.

Donat un conjunt de relacions $R\subset F_X$, sempre és possible definir un conjunt que satisfà estes relacions. Es tracta del grup cocient $F_X/N$, a on $N$ és el menor subgrup normal de $F_X$ que conté a $R$, cridat clausura normal de $R$ (la clausura normal existix, i no és més que el conjunt generat per la classe de conjugació $R^G=\{gr{g}^{-1}\mid g\in G\text{ y }r\in R\}$). En efecte, puix $f$ es pren com la proyecció canònica $F_X⟶F_X/N$, veem que si $p\in R$ llavors $p\in N=\ker f$, i aixina la paraula $p$, en ser interpretada com a producte en $F_X/N$, és igual a l'element neutre de $F_X/N$ i $p$ se satisfà en $F_X/N$ per a tota $p\in R$. Estes idees són suficients per a donar la definició d'una presentació de grup:

Es diu que un grup $G$ té una presentació $⟨X\mid R⟩$, a on $X$ és un conjunt i $R$ és un conjunt de paraules del grup lliure $F_X$ de base $X$, si existix un isomorfisme $G\simeq F_X/N$, a on $N$ és la clausura normal de $R$.

Si $G$ té una presentació $⟨X\mid R⟩$, es pot considerar al conjunt $X$ com el generador de $G$, i llavors $G$ és el major grup lliure en $X$ en el que les relacions $R$ se satisfan. La formulació precisa d'esta última afirmació és la teorema de von Dyck següent:

Teorema (von Dyck): Siga $R$ un conjunt de paraules del grup lliure $F_X$ de base $X$, i $G$ un grup a on se satisfan totes les relacions de $R$ a través d'una aplicació $f:X\to G$. Si $G$ és generat per $f(X)$, llavors existix un únic epimorfisme $\psi :F_X⟶G$ tal que $f=\psi \circ \eta$, a on $N$ és la clausura normal de $R$ en $F_X$ i $\eta :X⟶F_X/N$ és la restricció de la proyecció canònica $\pi :F_X⟶F_X/N$ a $X$:

Archiu:Presentacion de grupo teorema von dyck diagrama conmutativo.svg

La teorema de von Dyck nos diu que, en efecte, un grup $G$ que té una presentació $⟨X\mid R⟩$ complix en la propietat universal que caracterisa als grups lliures, i aixina és lliure en base $X$. Quan $H$ és un grup que també satisfà les relacions en $R$ i $H=⟨f(X)⟩$ com en la teorema anterior, llavors hi ha un epimorfisme $\psi :G⟶H$ i aixina $H$ és isomorfo (pel primera teorema de isomorfía) a un grup cocient de $G$ (a saber $G/\ker \psi$), i és en este sentit que el grup $G$ és el major grup lliure en $X$ que satisfà les relacions en $R$.

Bibliografia

1. Lang, S. Algebra. (2002) Springer-Verlag, New York.
2. Rotman, J. Advanced Modern Algebra. (2003) Prentice Hall.
3. Grillet, P. Abstract Algebra. 2007 Springer Science, New York.