Grup lliure

Grup lliure

Grafo de Cayley del grup lliure de dos generadors, a i b.

En teoria de grups, un grup G es diu lliure si hi ha un subconjunt S de G, tal que tot element de G pot escriure's en una forma única com a producte de finitos elements de S i els seus inversos (descontant variacions trivials com st^-1 = el seu^-1ut^-1).

Un concepte relacionat, encara que distint, és el de grup abeliano lliure.

Història

En 1882, Walther Von Dyck va estudiar el concepte de grup lliure sense donar-li nom, en el seu artícul Gruppentheoretische Studien, publicat en els Mathematische Annalen. El terme grup lliure va ser introduït per Jakob Nielsen en 1924.

Eixemples

El grup (Z,+) de sancers baix l'adició és lliure; es pot prendre S = {1}. La paradoxa de Banach-Tarski usa un grup lliure sobre un conjunt de dos elements.

Grafo de Cayley per al grup lliure de ranc 3.

En topología algebraica, el grup lliure sobre un conjunt de k elements és el grup fonamental de k círculs en un punt en comú.