Grup abeliano lliure

En àlgebra abstracta, un grup abeliano lliure és un grup abeliano que té una base en el sentit de que cada element del grup es pot escriure de manera unívoca com combinació llineal dels elements de la base, en coeficients sancers. Per lo tant, un grup abeliano lliure sobre una base B també es coneix com un conjunt de sumes formals sobre B. De manera informal, un element d'un grup abeliano lliure també pot ser vist com un multiconjunto signado d'elements de B.

Els grups abelianos lliures tenen propietats que els assemblen als espais vectorials i permeten que un grup abeliano en general s'entén com un cocient d'un grup abeliano lliure per "relacions". Cada grup abeliano lliure té un ranc definit com la cardinalidad d'una base. El ranc determina el grup llevat isomorfismes, i els elements de dit grup es poden escriure com a sumes finitas formals dels elements de la base. Cada subgrup d'un grup abeliano lliure és abeliano lliure, la qual cosa és important per a la descripció d'un grup abeliano en general com conúcleo d'homomorfisme entre grups abelianos lliures.

Eixemple

Per eixemple, siga G el grup que és la suma directa $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$ de dos còpies del grup cíclico infinit $\mathbb{Z}$.

Simbòlicament,

$G=\{(a,b)|a,b\in \mathbb{Z}\}$.

Una base d'este grup és {(1,0), (0,1)}.

Si escrivim $e_1=(1,0)$ i $e_2=(0,1)$, llavors podem escriure l'element (4,3), com

$(4,3)=4e_1+3e_2$, a on la multiplicació es definix de la manera següent: $4e_1:=e_1+e_1+e_1+e_1$.

En esta base no hi ha una atra manera d'escriure (4,3), pero si elegim com a base {(1,0), (1,1)}, a on $f_1=(1,0)$ i $f_2=(1,1)$, llavors podem escriure (4,3), com

$(4,3)=f_1+3f_2$.

A diferència de lo que ocorre en els espais vectorials, no tots els grups abelianos tenen una base (d'ahí el nom especial per als que lo si la tenen). Per eixemple, cap grup en elements (no trivials) periòdics pot ser abeliano lliure, ya que dits elements poden ser expressats en un número infinit de formes, simplement per mig de l'establiment d'un número arbitrari de cicles construïts a partir de la periodicitat.

El grup abeliano trivial {0} també es considera abeliano lliure, en base el conjunt buit.

Terminologia

Cal tindre en conte que un grup abeliano lliure , no és un grup lliure, llevat en dos casos: un grup abeliano lliure en una base buida (ranc de 0, donant el grup trivial) o tindre només un element en la base (ranc 1, donant un grup cíclico infinit). Qualsevol atre grup abeliano no és un grup lliure, perque, en grups lliures, l'element ab deu ser diferent del ba si a i b són elements diferents de la base, mentres que deuen ser idèntics en grups abelianos lliures. No obstant, els grups abelianos lliures són objectes lliures en la categoria de grups abelianos.