Homomorfisme de grups

Archiu:Group homomorphism ver.2.svg

Image d'un homomorfisme de grups (h) de G(esquerra) en H(dreta). L'óval menor dins de H és l'image de h. N és el núcleu de h i aN és una classe lateral de N.

En àlgebra, un homomorfisme de grups és una funció entre grups que preserva l'operació binaria.

Daus dos grups $(G,\circ )$ i $(H,\ast )$ l'aplicació $\phi :G⟶H$ és un homomorfisme de grups si es verifica que para tots els parells d'elements $a,b\in G$

$\phi (a\circ b)=\phi (a)\ast \phi (b)$

a on l'operació en el costat esquerre de l'equació ($\circ$) és la llei de composició interna en $G$, i l'operació del costat dret de l'equació ($\ast$) és la llei de composició interna en $H$.

Si l'aplicació $\phi$ és biyectiva llavors és un isomorfisme de grups, lo que significa que abdós grups tenen la mateixa estructura algebraica (són isomorfos), i només es diferencien pels símbols utilisats per a denotar els elements i l'operació.

Definicions

Daus dos grups $(G,\circ )$ i $(H,\ast )$, en el que cada grup està compost per un conjunt d'elements i una llei de composició interna entre ells (no necessàriament la mateixa), és possible definir una funció que assigne a cada element g de $G$ un element h de $H$:

$\phi :G⟶H$

Dita funció és un homomorfisme de grups si es verifica que para tots els parells d'elements $a,b\in G$

$\phi (a\circ b)=\phi (a)\ast \phi (b)$

a on l'operació en el costat esquerre de l'equació ($\circ$) és la llei de composició interna en $G$, i l'operació del costat dret de l'equació ($\ast$) és la llei de composició interna en $H$.

Image de $\phi$

El conjunt de tots els elements de $H$ que són l'image d'algun element de $G$ es diu l'image de l'aplicació, i es denota $\mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{(}\mathrm{\phi }\mathrm{)}$ o $\phi (G)$. Formalment:

$\mathrm{I}\mathrm{m}\mathrm{(}\mathrm{\phi }\mathrm{)}\mathrm{:}\mathrm{\{}\mathrm{h}\mathrm{\in }\mathrm{H}\mathrm{:}\mathrm{h}\mathrm{=}\mathrm{\phi }\mathrm{(}\mathrm{g}\mathrm{)},\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{g}\acute{\mathrm{u}}\mathrm{n}\mathrm{g}\mathrm{\in }\mathrm{G}\mathrm{\}}$

L'image de $\phi$ és un subgrup de $H$.

El núcleu o kernel

El conjunt de tots els elements de $G$ l'image dels quals és l'element identitat de $H$ es diu núcleu (kernel) de $\phi$:

$\ker (\phi ):\{g\in G:\phi (g)=1_H\}$

El núcleu de $\phi$ és un subgrup normal de G. El núcleu és important perque no només determina qué elements tenen per image l'identitat, sino també quins elements tenen la mateixa image:

Dau $a\in G\to \phi (a\circ k)=\phi (a)\mathrm{\forall }k\in \ker (\phi )$

ya que $\phi (a\circ k)=\phi (a)\ast \phi (k)=\phi (a)\ast 1_H=\phi (a)$

Els conjunts de tots els elements que compartixen una mateixa image són les classes laterals del núcleu.

Eixemples

La funció exponencial és un homomorfisme de grups entre els número real baix l'adició i el grup multiplicativo dels reals no nuls (exclós el 0):

$f:(ℝ,+)⟶({ℝ}^{\ast },\cdot )talquef(x)=e^x$

ya que $f(x+y)=e^{x+y}=e^x{e}^y=f(x)\cdot f(y)$

L'image de la funció exponencial és el subgrup dels número real positius, i el núcleu és solament l'element identitat (el 0), ya que l'aplicació és inyectiva.

La funció determinant, definida sobre el grup multiplicativo de matrius invertibles (grup general llineal) en els número real no nuls, és un homomorfisme de grups:

$f:{𝔾𝕃}_n(ℝ)⟶({ℝ}^{\ast },\cdot )talquef(A)=det(A)$

ya que $\det (A\times B)=\det (A)\cdot \det (B)$.

Vore també

• Homomorfisme.
• Grup (matemàtica).
• Teoria de grups.
• Teoremes de isomorfía.
• Acció de grup.