Homomorfisme

Diagrama de conmutación d'un sistema homomorfisme de grup.

En matemàtiques, un homomorfisme (o a voltes simplement morfismo) des d'un objecte matemàtic a un atre en la mateixa estructura algebraica, és una funció que preserva les operacions definides en dits objectes.

Definició

Sean $𝒜 = (A, \circ_{1}, \dots, \circ_{k})$ i $ℬ = (B, *_{1}, \dots, *_{k})$ dos sistemes algebraics del mateix tipo, a on $A, B$ són conjunts i $\circ_{1}, \dots, \circ_{k}, *_{1}, \dots, *_{k}$ són les operacions algebraiques definides en dits conjunts.

Una funció $ϕ : A \to B$ és un homomorfisme si verifica:
$ϕ (\circ_{i} (a_{1}, \dots, a_{n})) = *_{i} (ϕ (a_{1}), \dots, ϕ (a_{n}))$ per a cada i = 1,...,k i $a_{1}, \dots, a_{n} \in A$ .

Eixemples

Els grups són conjunts que tenen definida una operació en neutre i en que cada element té invers.

Per lo tant, si $(G, *), (H, \cdot)$ són grups, segons la definició una funció $f : G \to H$ és un homomorfisme de grups si:

$f (g_{1} * g_{2}) = f (g_{1}) \cdot f (g_{2})$ per a tot parell d'elements $g_{1}, g_{2} \in G$ ;
$f (e_{G}) = e_{H}$ , sent $e_{G}, e_{H}$ els neutres de $G$ i $H$ ;
$f (g^{- 1}) = f (g)^{- 1}$ para tot $g \in G$ .

Pot provar-se que si una funció complix la primera condició llavors complix les atres dos, d'ahí que en la definició clàssica d'homomorfisme de grups no es demanen les atres condicions.

Un $𝕂$ -espai vectorial (a on $𝕂$ és un cos) és un conjunt que té definida una suma entre elements del grup i un producte d'escalares per elements del conjunt; la suma té un neutre i cada element té opost. Per lo tant, utilisant la definició, per a que una funció $f : V \to W$ entre dos $𝕂$ espais vectorials siga un homomorfisme deu verificar:

$f (v_{1} +_{V} v_{2}) = f (v_{1}) +_{W} f (v_{2})$ , per a tot $v_{1}, v_{2} \in V$ ;
$f (λ \cdot_{V} v) = λ \cdot_{W} f (v)$ , per a tot $v \in V$ i tot $λ \in 𝕂$ ;
$f (0_{V}) = 0_{W}$ ;
$f (- v) = - f (v)$ para tot $v \in V$ .

Les transformacions llineals són exactament les funcions que complixen açò (les condicions 3 i 4 es deduïxen d'1 i 2). Per lo tant, els homomorfismes d'espais vectorials són les transformacions llineals.

Si $(R, +_{R}, \cdot_{R})$ i $(S, +_{S}, \cdot_{S})$ són dos anells llavors una funció $f : R \to S$ és un homomorfisme d'anells si es complixen les següents dos condicions:

$f (a +_{R} b) = f (a) +_{S} f (b)$ , qualssevol que siguen $a, b \in R$ ;
$f (a \cdot_{R} b) = f (a) \cdot_{S} f (b)$ , qualssevol que siguen $a, b \in R$ ;
$f (0_{R}) = 0_{S}$ ;
$f (- a) = - f (a)$ para tot $a \in R$ .

Les condicions 3 i 4 es deduïxen de la primera, d'ahí que en la definició clàssica no es demanen.

En el cas d'anells en unitat, també s'exigix $f (1_{R}) = 1_{S}$ .

Si $M$ i $N$ són dos R-mòduls (a on $(R, +_{R}, \cdot_{R})$ és un anell dau) llavors una funció $f : M \to N$ és un homomorfisme de R-mòduls si complix les següents dos condicions:

$f (m_{1} +_{R} m_{2}) = f (m_{1}) +_{R} f (m_{2})$ , qualssevol que siguen $m_{1}, m_{2} \in M$ ;
$f (r \cdot_{R} m) = r \cdot_{R} f (m)$ , qualssevol que siguen $m \in M, r \in R$ .

Vore també

Morfismo

Referències

Bibliografia

Knowledgerush (en anglés)
Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.

Enllaços externs

Homomorphism en MathWorld.
http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Homomorphism

Este artícul conté una traducció derivada de «Homomorfismo» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.