Homomorfisme d'anells

Un homomorfisme d'anells és una aplicació entre anells que conserva les estructures d'abdós com a anells.

En tot l'artícul $(R, +, \cdot)$ i $(S, +, \cdot)$ són anells.

Definicions

Ya que existixen distints tipos d'anells, cal particularizar la definició.

Cas general

Es dirà que l'aplicació $f : R \to S$ és un homomorfisme d'anells si es complixen les següents dos condicions:

$f (a + b) = f (a) + f (b)$ , qualssevol que siguen $a, b \in R$ .
$f (a \cdot b) = f (a) \cdot f (b)$ , qualssevol que siguen $a, b \in R$ .

La primera condició nos diu que $f$ és en particular un homomorfisme de grups entre els grups abelianos $(R, +)$ i $(S, +)$ . En esta definició es veu que l'image de $f$ , $im (f) = f (R)$ , és un subanillo de $(S, +, \cdot)$ .

Es definix el núcleu de f com el conjunt $\ker (f) : = {r \in R : f (r) = 0}$ , és dir, $\ker (f) = f^{- 1} ({0})$ . El núcleu de qualsevol homomorfisme és un ideal (bilátero).

Anells unitaris

Si $R$ i $S$ són anells unitaris (els elements dels quals unitats són respectivament $1_{R}$ i $1_{S}$ ), llavors l'aplicació $f : R ⟶ S$ es dirà que és un homomorfisme d'anells unitaris si és un homomorfisme d'anells i ademés es complix que $f (1_{R}) = 1_{S}$ .

Tipos d'homomorfismes d'anells

Es diu que $f$ és un monomorfismo si és una aplicació inyectiva, és dir, $f (a) = f (b)$ implica que $a = b$ , qualssevol que siguen $a, b \in R$ . Açò és equivalent a dir que $\ker (f) = {0}$ .

Es diu que $f$ és un epimorfisme si és una aplicació sobreyectiva, és dir, $f (R) = im (f) = S$ . No obstant, molts autors preferixen no utilisar esta denominació, i parlar només de homomorfismes sobreyectivos (o homomorfismes exhaustius). La raó és que el terme epimorfisme té un significat més general en Teoria de Categories. Des d'este punt de vista (categòric), un epimorfisme d'anells no és necessàriament una aplicació sobreyectiva, encara que tots els homomorfismes d'anells sobreyectivos sí resulten ser epimorfismes.

Es diu que $f$ és un isomorfisme si existix l'homomorfisme invers $f^{- 1} : S \to R$ de manera que $f \circ f^{- 1} = {I d}_{S}$ i $f^{- 1} \circ f = {I d}_{R}$ . Açò ocorre si i només $f$ si és una aplicació biyectiva, és dir, $f$ , és al mateix temps monomorfismo i homomorfisme exhaustiu.

Vore també

Homomorfisme

Este artícul conté una traducció derivada de «Homomorfismo de anillos» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.