Conúcleo

El conúcleo (també denominat cokernel) d'una aplicació llineal sobre un espai vectorial f : X → I és l'espai cocient I / im(f) del codominio de f per l'image de f. La dimensió del conúcleo es denomina corango de f.

Els conúcleos (cokerneles) són duals dels núcleus (kerneles) en teoria de categories, d'ahí el seu nom: el núcleu és un subobjeto del domini (s'aplica des del domini), mentres que el cokernel és un objecte cocient del codominio (s'aplica des del codominio).

Intuitivament, donada una equació f(x)= i que es busca resoldre, el conúcleo medix les restriccions que i deu satisfer per a que esta equació tinga solució (les restriccions de la solució), mentres que el núcleu medix els graus de llibertat d'una solució, si existix. Este concepte intuïtiu s'explica en major detall més alvance.

De forma més general, el conúcleo d'un morfismo f : X → I en alguna categoria (per eixemple, un homomorfisme entre grups o un operador llineal acotat entre espais de Hilbert) és un objecte Q i un morfismo q : I → Q tals que la composició q f és el morfismo zero de la categoria, i ademés q és universal sobre esta propietat. A sovint es sobrentiende l'aplicació q, i Q es denomina el conúcleo de f.

En moltes situacions en àlgebra abstracta, com per a un grup abeliano, espai vectorial o mòdul, el conúcleo del homomorfisme f : X → I és el cocient de I per l'image de f. En contexts topològics, com en operadors llineals acotats entre espais de Hilbert, normalment cal prendre la clausura de l'image abans de passar al cocient.

Definició formal

Es pot definir el conúcleo en el marc general de la teoria de categories. Per a que la definició tinga sentit, la categoria en qüestió deu tindre morfismo zero. El conúcleo d'un morfismo f : X → I es definix com el coequalizador de f i el morfismo zero 0_XY : X → I.

Explícitament, açò significa lo següent: el conúcleo de f : X → I és un objecte Q junt en un morfismo q : I → Q tal que el diagrama

és commutativo. Ademés, el morfismo q deu ser universal per a este diagrama; és dir, qualsevol un atre q′ : I → Q′ d'este tipo es pot obtindre component q en un únic morfismo o : Q → Q′:

Com en totes les construccions universals, el conúcleo, si existix, és únic llevat un únic isomorfisme, o més precisament: si q : I → Q i q′ : I → Q′ són dos conúcleos de f : X → I, llavors existix un únic isomorfisme o : Q → Q′ en q'= o q.

Com tots els coecualizadores, el conúcleo q : I → Q és necessàriament un epimorfisme. A l'inversa, un epimorfisme es denomina normal (o conormal) si és el conúcleo d'algun morfismo. Una categoria es denomina conormal si tot epimorfisme és normal (per eixemple, la categoria de grups és conormal).

Eixemples

En la categoria de grups, el conúcleo d'un homomorfisme de grups f : G → H és el cocient de H per la clausura normal de l'image de f. En el cas dels grups abelianos, ya que tot subgrup és normal, el conúcleo és simplement el H mòdul de l'image de f:

$\mathrm{coker}(f)=H/\mathrm{im}(f).$

Casos especials

En una categoria preaditiva, té sentit sumar i restar morfismos. En dita categoria, el coecualizador de dos morfismos f i g (si existix) és simplement el conúcleo de la seua diferència:

$\mathrm{coeq}(f,g)=\mathrm{coker}(g-f).$

En una categoria abeliana (un tipo especial de categoria preaditiva), l'image i la coimagen d'un morfismo f vénen donades per:

$\begin{array}{cc}\mathrm{im}(f)& =\ker (\mathrm{coker}f),\\ \mathrm{coim}(f)& =\mathrm{coker}(\ker f).\end{array}$

En particular, tota categoria abeliana és normal (i també conormal). És dir, tot monomorfismo m pot escriure's com el núcleu d'algun morfismo. Específicament, m és el núcleu del seu propi conúcleo:

$m=\ker (\mathrm{coker}(m))$

Concepte intuïtiu

El conúcleo pot entendre's com l'espai de restriccions que deu satisfer una equació, com l'espai de obstàculs, de la mateixa manera que el kernel és l'espai de les solucions.

Formalment, es poden conectar el núcleu i el conúcleo d'una aplicació T: V → W per mig d'una successió exacta:

$0\to \ker T\to V\stackrel{T}{⟶}W\to \mathrm{coker}T\to 0.$

Açò es poden interpretar aixina: donada una equació llineal T(v)= w a resoldre,

• El núcleu és l'espai de solucions de l'equació homogénea T(v)= 0, i la seua dimensió és el número de graus de llibertat en les solucions de T(v)= w, si existixen;

• El conúcleo és l'espai de restriccions sobre w que deuen satisfer-se per a que l'equació tinga solució, i la seua dimensió és el número de restriccions independents que deuen satisfer-se per a que l'equació tinga solució.

La dimensió del conúcleo més la dimensió de l'image (el ranc) sumen la dimensió de l'espai objectiu, ya que la dimensió de l'espai cocient W / T(V) és simplement la dimensió de l'espai menys la dimensió de l'image.

Com a eixemple senzill, considere's l'aplicació T: R² → R², donada per T(x, i)= (0, i). Per a que una equació T(x, i)= (a, b) tinga solució, es deu tindre a= 0 (una restricció), i en eixe cas l'espai de solucions és (x, b), o equivalentement, (0, b) + (x, 0) (un grau de llibertat). El núcleu pot expressar-se com el subespacio (x, 0) ⊆ V: el valor de x representa la llibertat en una solució. El conúcleo pot expressar-se per mig de l'aplicació de valors reals W: (a, b) → (a): donat un vector (a, b), el valor de a representa la obstrucció a l'existència d'una solució.

Ademés, el conúcleo pot considerar-se com alguna cosa que detecta una funció sobreyectiva, de la mateixa manera que el núcleu detecta una funció inyectiva. Una aplicació és inyectiva si i solament si el seu núcleu és trivial, i una aplicació és sobreyectiva si i solament si la seua conúcleo és trivial, o dit d'un atre modo, si W= im(T).

Bibliografia

• Saunders Mac Lane: «Categories for the Working Mathematician», Segona edició, 1978, pág. 64
• Emily Riehl: Teoria de categories en context, Aurora Modern Math Originals, 2014, pág. 82, pág. 139, nota al peu 8.