Categoria abeliana

En matemàtiques una categoria abeliana és una categoria en la qual els morfismos tenen estructura de grup abeliano, existixen tant núcleus i conúcleos i tenen propietats desijables. L'eixemple usual d'una categoria abeliana és la categoria de grups abelianos Ab. La teoria té el seu orige com un intent d'unificar vàries teories de cohomologia per Alexander Grothendieck. Les categories abelianas són categories molt estables, per eixemple són regulars i satisfan el lema de la serp. La classe de categories abelianas és tancada baix vàries construccions categòriques, per eixemple la categoria de complexos de cadenes d'una categoria abeliana o la categoria de funtorés d'una categoria menuda abeliana és una categoria abeliana, estes propietats estables són inevitables en àlgebra homológica, està teoria té les seues majors aplicacions en geometria algebraica, cohomología i teoria de categories.

Definició

Una categoria C és abeliana si

• Té objecte zero.
• Té tots els productes fibrados i coproductos fibrados.
• Tots els monomorfismos i epimorfismes són normals.

Per una teorema de Peter Freyd, està definició és equivalent a la següent:

• Una categoria és preaditiva si tots els conjunts d'homomorfismes són grups abelianos, té objecte zero, i la composició de morfismos és bilineal.
• Una categoria preaditiva és aditiva si tot parell d'objectes té un producte.
• Finalment, una categoria preaditiva és abeliana si tot monomorfismo i epimorfisme és normal. Açò significa que tot monomorfismo és el núcleu d'algun morfismo i que tot epimorfisme és el conúcleo d'algun morfismo.

L'estructura de grup abeliano en cada conjunt d'homomorfismes és una conseqüència dels tres axiomas de la primera definició, açò mostra l'importància fonamental de la categoria de grups abelianos en la teoria i la seua naturalea canònica.

El concepte de successió exacta sorgix de manera natural en este entorn i dona lloc al concepte de funtor exacte i.i. el funtor preserva successions exactes, estos són els funtores que concernixen a les categories abelianas. El concepte de exactitut ha segut axiomatizado en la teoria de categories exactes formant un cas molt especial de categories regulars.

Eixemples

• Com ha segut mencionat, la categoria de grups abelianos Ab és una categoria abeliana. La categoria de grups abelianos finitamente generats és una categoria abeliana com la categoria de tots els grups abelianos finitos.

• Si R és un anell llavors la categoria de tots els R mòduls esquerres o drets és una categoria abeliana, de fet es pot mostrar que qualsevol categoria abeliana chicoteta és equivalent a una subcategoría plena d'una categoria de mòduls (teorema d'encaix de Mitchell).

• Si R és un anell noetheriano esquerre llavors la categoria de R mòduls esquerres finitamente generats és abeliana, en particular la categoria de mòduls finitamente generats sobre un anell conmutativo noetheriano és abeliana. D'esta forma les categories abelianas apareixen en àlgebra conmutativa.

• Un cas especial dels dos eixemples anteriors: la categoria d'espais vectorials sobre un camp K és abeliana com la categoria d'espais vectorials de dimensió finita sobre K és abeliana.

• Si X és un espai topològic llavors la categoria de tots els (reals o complexos) fibrados vectorials en X en general no és una categoria abeliana ya que poden existir monomorfismos que no són el núcleu d'algun morfismo.

• Si X és un espai topològic llavors la categoria de totes les gavillas de grups abelianos en X és una categoria abeliana. Més generalment la categoria de gavillas de grups abelianos en una topología de Grothendieck és una categoria abeliana. D'esta forma les categories abelianas apareixen en topología algebraica i geometria algebraica.

• Si C és una categoria chicoteta i A una categoria abeliana llavors la categoria de funtores de C en A és una categoria abeliana (els morfismos entre els funtores són transformacions naturals). Si C és una categoria chicoteta i preaditiva llavors la categoria de funtores aditius de C en A formen també una categoria abeliana. Lo últim és una generalisació de l'eixemple de R mòduls ya que un anell pot ser considerat com una categoria preaditiva en un únic objecte.