Objecte inicial, final i zero

En teoria de categories, una branca abstracta de les matemàtiques, un objecte inicial d'una categoria C és un objecte I en C tal que para tot objecte X en C existix un únic morfismo I → X. La noció dual és la de objecte final és dir, un objecte F és final si para tot objecte X en C existix un únic morfismo X → F.

Si un objecte és tant inicial com a final, rep el nom de objecte zero.

Propietats

Existència i unicitat

En una categoria arbitrària no necessàriament existixen objectes inicials ni finals, no obstant, si existixen són essencialment únics, és dir si I₁ i I₂ són dos objectes inicials, llavors hi ha un únic isomorfisme entre ells. Ademés, si I és un objecte inicial, llavors qualsevol objecte isomorfo a I és inicial. Per dualitat, tot lo anterior és cert per a objectes finals.

Objecte zero

Si 0 és un objecte zero, llavors de la definició es pot deduir que per a qualssevol dos objectes A i B de la categoria, existix un únic morfismo A → 0 → B, que comunament rep el nom de morfismo zero. Si la categoria és abeliana (o inclús aditiva) el morfismo zero és el neutre baix l'operació aditiva de morfismos.

Eixemples

• El conjunt buit és l'únic objecte inicial de la categoria de conjunts; qualsevol conjunt en un únic element és un objecte final i no hi ha objectes zero en esta categoria.
• Análogament, l'espai topològic buit és l'únic objecte inicial en la categoria d'espais topològics i tot espai en un sol punt és final, tampoc hi ha objectes zero en esta categoria.
• En la categoria de grups, qualsevol grup trivial és un objecte zero, açò també és cert en la categoria de grups abelianos, d'estes categories és d'a on va sorgir el nom d'objecte zero.
• En la categoria de conjunts punteados (els objectes dels quals són els conjunts no buits en un element distinguit, mentres que els morfismos són les funcions que preserven el punt distinguit), tot conjunt en un únic element és un objecte zero. Igualment, en la categoria d'espais topològics punteados, els espais d'un sol punt són objectes zero.
• En la categoria d'anells en unitat i morfismos que preserven l'unitat, l'anell dels número entero Z és un objecte inicial. L'anell trivial, que solament consta d'un element 0=1, és l'objecte final.
• En la categoria de cossos, no hi ha objectes inicial ni final. No obstant, en la subcategoría dels cossos de característica p, el cos d'orde p és un objecte inicial.

Referències

• Adámek, Jiří (1990). Abstract and Concrete Categories, John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
• Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician, (2nd ed.) edició, Springer. ISBN 0-387-98403-8.