Categoria (matemàtiques)

Categoria (matemàtiques)

Esta és una categoria en una colecció d'objectes A, B, C i colecció de morfismos denominats f, g, g ∘ f, i els llaços són les fleches identitat. Esta categoria per lo general s'identifica pel 3 en negreta.

En teoria de categories, una categoria és una estructura algebraica que consta d'una colecció de objectes, conectats uns en uns atres per mig de fleches tals que es complixen les següents propietats bàsiques: les fleches es poden compondre unes en atres de manera associativa, i per a cada objecte existix una flecha que es comporta com un element neutre baix la composició.

Un eixemple clàssic és la categoria de conjunts, els objectes dels quals són conjunts i les fleches de la qual són les funcions, i a on la composició de fleches és la composició usual de funcions. En general, els objectes i les fleches poden ser objectes abstractes de qualsevol tipo, i la noció de categoria proveïx d'una manera abstracta i fonamental per a descriure entitats matemàtiques i les seues relacions. Esta és l'idea central de la teoria de categories, una branca de les matemàtiques que busca generalisar totes les demés teories matemàtiques en térmens d'objectes i fleches. Pràcticament qualsevol branca de les matemàtiques modernes es pot descriure en térmens de categories, i per mig d'esta descripció, és comuna que es revelen propietats i similituts molt profundes entre àrees aparentment distintes. Per a notes històriques i fonaments més profunts vore teoria de categories.

Dos categories són iguals si tenen la mateixa colecció d'objectes, la mateixa colecció de fleches, i la mateixa forma associativa de compondre fleches. Dos categories també es poden considerar equivalents inclús si no són precisament la mateixa. Moltes categories molt quotidianes es denoten comunament en un abreujament del tipo dels seus objectes, per eixemple: En es referix a la categoria de conjunts, Top es referix a la categoria d'espais topològics, Ab es referix a la categoria de grups abelianos, etc.

Definició

Una categoria C consta de

• una classe ob(C) de objectes
• per a cada parell d'objectes A, B en ob(C) un conjunt C(A,B) de fleches o morfismos de A a B.
• per a cada terna d'objectes A, B, C de C una funció ∘:C(A,B)×C(B,C)→C(A,C) a on ∘(f,g) es denota g ∘ f.

Ademés, els següents axioma deuen ser certs:

• (Asociatividad) per a qualsevol terna de fleches f,g,h es complix que h ∘ (g ∘ f)=(h ∘ g) ∘ f, si és que estes composicions estan definides.
• (Identitat) para tot objecte A en ob(C) existix una flecha en C(A,A) comunament denotada 1_A tal que para tota flecha f en C(A;B) f=1_B ∘ f i f=f ∘ 1_A.

D'estos axioma es pot deduir fàcilment que existix una única flecha identitat per a cada objecte.

Història

La noció de categoria, i en general, les primeres nocions de teoria de categories, varen aparéixer per primera volta en 1945 en un artícul de Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane cridat "General Theory of Natural Equivalences" (Teoria general de les equivalència naturals).

Eixemples

• La categoria En és aquella els objectes de la qual són tots els conjunts i si A i B són conjunts, llavors En(A,B) és el conjunt de funcions en domini A i codominio B. Esta és la categoria més comunament usada en matemàtiques.

un grafo dirigit.

Categories chicotetes i grans

Una categoria C es diu menuda si tant ob(C) com hom(C) són realment conjunts i no classe pròpia, i gran en cas contrari. Una categoria localment menuda és una categoria tal que para tots els objectes a i b, la classe hom(a, b) és un conjunt, cridat homset. Moltes categories importants en matemàtiques (com la categoria de conjunts), encara que no són menudes, són a lo manco localment menudes. Ya que, en les categories menudes, els objectes formen un conjunt, una categoria chicoteta pot vore's com una estructura algebraica similar a un monoide pero sense requerir propietats de tancament. Per un atre costat, les categories grans poden utilisar-se per a crear "estructures" d'estructures algebraiques.

La classe de tots els conjunts junt en totes les funcions entre conjunts, a on la composició és la composició de funció comuna, forma la categoria gran, Conjunt. És la categoria més bàsica i comunament utilisada en matemàtiques. La categoria Rel consistix de tots els conjunts, en relacions binarias com morfismos. Si es consideren relacions en lloc de funcions resulten en alegoria en lloc de categories.

Tota classe pot ser considerada una categoria que els seus únics morfismos són els morfismos identitat. Tals categories són denominades discretas. Per a tot conjunt I, la categoria discreta en I és la categoria chicoteta que posseïx els elements de I com a objectes i únicament els morfismos identitat com morfismos. Les categories discretes són el tipo de categoria més simple.

Tot conjunt preordenado (P, ≤) forma una categoria menuda, en la qual els objectes són els membres de P, els morfismos són fleches que apunten de x a i en x ≤ i. Entre dos objectes qualsevol solament pot haver com molt un morfismo. L'existència de morfismos identitat i la capacitat de compondre els morfismos que garantisada per la reflexividad i la transitividad del preorden. En el mateix argument, tot conjunt parcialment ordenat i tota relació d'equivalència pot ser considerat una categoria menuda. Tot número ordinal pot ser considerat una categoria en ser considerat un conjunt ordenat.

Tot monoide (tota estructura algebraica en una sola operació binaria associativa i un element identitat) forma una categoria chicoteta en un sol objecte x. (a on, x és tot conjunt determinat.) Els morfismos de x a x són els elements del monoide, el morfismo identitat de x és l'identitat del monoide, i la composició categòrica de morfismos queda definida per l'operació del monoide. Vàries definicions i teoremes sobre monoides poden ser generalisats per a categories.

Tot grup pot ser considerat una categoria en un sol objecte en el qual tot morfismo és invertible (para tot morfismo f existix un morfismo g que és tant inversa per dreta i per esquerra de f per mig de composició) considerant al grup actuant sobre sí mateixa per mig de multiplicació per esquerra. Un morfismo que és invertible en este sentit és denominat un isomorfisme.

Un groupoide és una categoria en la qual tot morfismo és un isomorfisme. Els grupoides són generalisacions dels grups, accions de grup i relaciones d'equivalència.

Un gràfic dirigit.

Tot gràfic dirigit genera una categoria menuda: els objectes són els vèrtiços d'un gràfic, i els morfismos són els camins en el gràfic (aumentat en llaços segons siga necessari) a on la composició de morfismos és la concatenació de camins. Tal categoria és denominada la categoria lliure generada pel gràfic.

La classe de tots els conjunts preordenados en funcions monotónicas com morfismos forma una categoria, Ord. És una categoria concreta, o siga una categoria obtinguda agregant algun tipo d'estructura al Conjunt, i exigint que els morfismos siguen funcions que respecten eixa estructura agregada.

La classe de tots els grups en homomorfismes de grup com els morfismos i composició de funció com l'operació de composició forma una categoria gran, Grp. De la mateixa manera que Ord, Grp és una categoria concreta. La categoria Ab, consistent en tots els grups abelianos i els seus homomorfismes de grup, és una categoria completa de Grp, i el prototip d'una categoria abeliana. Atres eixemples de categor´´ias concretes es presenten en la següent taula.

Categoria	Objectes	Morfismos
Mag	magmas	homomorfismes magma
Manp	varietats suaus	mapes "p" voltes diferenciables contínuament
Met	espais mètrics	short maps
R-Mod	R-Modules, a on R és un Anell	homomorfismes de mòdul
Anelle	anells	homomorfismes d'anell
Conjunt	conjunts	funcions
Top	espais topològics	funcions contínues
Uni	espais uniformes	funcions contínuament uniformes
VectK	espais de vectores en el camp K	mapes llineals K

Tipos de morfismos

Un morfismo f : a → b és denominat

• un monomorfismo (o monic) si fg₁ = fg₂ implica g₁ = g₂ per a tots els morfismos g₁, g₂ : x → a.
• un epimorfisme (o epic) si g₁f = g₂f implica g₁ = g₂ per a tots els morphisms g₁, g₂ : b → x.
• un bimorfismo si és tant un monomorfismo i un epimorfisme.
• un retracció si té una inversa per dreta, o siga si existix un morfismo g : b → a en fg = 1_b.

• una secció si té una inversa per esquerra, o siga s'existix un morfismo g : b → a en gf = 1_a.
• un isomorfisme si té un invers, o siga si existix un morfiosmo g : b → a en fg = 1_b i gf = 1_a.
• un endomorfisme si a = b. La classe d'endomorfismes de a és expressada com end(a).
• un automorfisme si f és tant un endomorfisme i un isomorfisme. La classe dels automorfismes de a s'expressa com aut(a).

Tota retracció és un epimorfisme. Tota secció és un monomorfismo. The following three statements llaure equivalent:

• f és un monomorfismo i una retracció;
• f és un epimorfisme i una secció;
• f és un isomorfisme.

Les relacions entre morfismos (com ser fg = h) poden ser representats per mig de diagrames conmutativos, a on els objectes són representats com a punts i els morfismos com a fleches.

Tipos de categories

• En moltes categories, com ser Ab o Vect_K, els conjunts hom hom(a, b) no són sol conjunts sino grups abelianos, i la composició de morfismos és compatible en eixes estructures de grup; o siga és bilineal. Tal categoria és denominada preaditiva. Si la categoria posseïx tots els seus productes i coproductos finitos, és denominada categoria aditiva. Si tots els morfismos tenen un kernel i un cokernel, i tots els epimorfismes són cokernels i tots els monomorfismos són kernels, llavors es fa referència a una categoria abeliana. Un eixemple típic d'una categoria abeliana és la categoria de grups abelianos.
• Una categoria és denominada completa si tots els llímits existixen en ella. Les categories de conjunts, grups abelianos i espais topològics són completes.
• Una categoria és denominada tancada cartesiana si posseïx productes directes finitos i un morfismo definit en un producte finito pot sempre ser representat per mig d'un morfismo definit en solament un dels factors. Són eixemples el Conjunt i CPO, la categoria d'órdens parcials complets en funciones contínues de Scott.
• Un talps és un cert tipo de categoria cartesiana tancada en la qual tota la matemàtica pot ser formulada (en forma similar a com tota la matemàtica és formulada en la categoria de conjunts). Un talps també pot ser utilisat per a representar una teoria llògica.

Vore també

• Teoria de categories
• Anex:Símbols matemàtics

Bibliografia

• (now free on-line edition, GNU FDL).
• .
• .

• (revised and corrected free online version of Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (278) Springer-Verlag, 1983).
• .
• .
• .
• .
• .
• .
• .