Objecte lliure

En les matemàtiques, un dels conceptes fonamentals del àlgebra abstracta és l'idea del objecte lliure. De manera informal, un objecte lliure sobre un conjunt A pot pensar-se com l'estructura algebraica "genèrica" sobre A, deduïda a partir de la seua definició: les úniques equacions que es complixen entre els seus elements són aquelles que es deriven dels axioma de l'estructura algebraica. Són eixemple els grups lliures, àlgebra tensoriales, o retículs lliures.

Forma part del àlgebra universal, ya que es relaciona a tots els tipos d'estructura algebraica (en operacions finitas). També es pot formular en térmens de la teoria de categories.

Definició

Els objectes lliures són la generalisació directa a teoria de categories de la noció de base en un espai vectorial. Una transformació llineal o : I₁ → I₂ entre espais vectorials esta totalment determinada pels seus valors en una base de I₁. De manera inversa, una funció o : B₁ → I₂ definida en una base de I₁ pot estendre's de manera única a una transformació llineal. La següent definició és una traducció d'este fet a qualsevol categoria.

Siga C una categoria, B un conjunt denominat base, F ∈ C un objecte i i : B → F una funció anomenat l'encaix canònic. Es diu que F és un objecte lliure sobre la base B (sobre l'encaix canònic i) si i solament si satisfan la següent propietat universal: Per a qualsevol objecte O i qualsevol funció f : B → O, existix un únic morfismo $\tilde{f}:F\to O$ tal que $f=\tilde{f}\circ i$. És dir, que fa commutar el següent diagrama,

No obstant, hi ha alguns abusos de notació en la definició de dalt. En la teoria de categories no hi ha funcions, solament morfismos. Per lo tant la funció i : B → F no està ben definida. Les funcions són morfismos entre conjunts, per lo que la definició va deure haver segut escrita usant el funtor que oblida que transforma un objecte al seu conjunt subjacent. D'esta manera el funtor lliure que construïx l'objecte lliure F d'un conjunt B es convertix en l'adjunt esquerre de funtor que oblida.

Eixemples

Dos passos procedixen en la creació d'un objecte lliure. Per a àlgebra que complixen la llei associativa, el primer pas consta de considerar de la colecció de totes les possibles paraules d'un alfabet. En el segon pas es definix una relació d'equivalència a les cadenes de caràcters, a on les relacions són les relacions que definixen a l'objecte algebraic que s'està manejant. L'objecte lliure consta de les classes d'equivalència.

Considera, per eixemple, la construcció del grup lliure en dos generadors. Escomença un en un alfabet que consistix de cinc elements $\{e,a,b,a^{-1},b^{-1}\}$. En el primer pas, encara no se li ha assignat un significat a les "paraules" $a^{-1}$ o $b^{-1}$; estes seran donades posteriorment, en el segon pas. Per lo que un podria escomençar d'igual manera en un alfabet de cinc lletres arbitràries $S=\{a,b,c,d,e\}$. En este eixemple, el conjunt de totes les paraules o cadenes de caràcters $W(S)$ inclou paraules com "aebecede" o "aa", de qualsevol llongitut, i en totes les lletres ordenades de qualsevol manera possible.

En el següent pas, li impon un una relació d'equivalència al conjunt $W(S)$. La relació d'equivalència per a un grup és l'induïda per les relacions $ge=eg=g$, açò és la multiplicació per l'identitat, i la multiplicació per l'invers: $g{g}^{-1}=g^{-1}g=e$. Si apliquem estes relacions a les paraules de dalt un obté:

$aebecede=ab{a}^{-1}{b}^{-1}$

En a on c s'interpreta com $a^{-1}$, i d com $b^{-1}$, mentres que i és el neutre.

Si denotem a la relació d'equivalència per $\sim$, l'objecte lliure és la colecció de les classes d'equivalència de les paraules. En este eixemple, el grup lliure en dos generadors és el cocient:

$F_2=W(S)/\sim$

Que s'escriu comunament com:

$F_2=W(S)/E$

a on

$W(S)=\{a_1{a}_2\dots a_n|a_k\in S;n\text{ finito }\}$

és el conjunt de totes les paraules, i,

$E=\{a_1{a}_2\dots a_n|e=a_1{a}_2\dots a_n;a_k\in S;n\text{ finito }\}$

és la classe d'equivalència de l'identitat.

Un eixemple més simple és el de monoide lliure. Un monoide lliure sobre un conjunt X, és el monoide de totes les paraules que tenen a X com a alfabet, en la concatenació de les paraules com l'operació. L'identitat és la paraula buida. En essència, el monoide lliure simplement és el conjunt de totes les paraules sense cap relació d'equivalència. Este eixemple es desenrolla més a fondo en l'artícul d'estrela de Kleene.

Cas General

En el cas general, les relacions algebraiques no necessàriament són associatives. De ser este cas, el punt d'inici no és el conjunt de totes les paraules, sino el conjunt de les paraules separades per paréntesis, que s'utilisen per a indicar l'agrupació no associativa de les lletres. Tal paraula podria ser representada per un arbre binario o una magma lliure; els fulls dels arbres són les lletres de l'alfabet.

Les relacions algebraiques serien llavors relacions finitas sobre els fulls de l'arbre. En lloc d'escomençar en la colecció de totes les possibles paraules en paréntesis, podria ser més convenient escomençar en l'univers de Herbrand. Enumerar o descriure pròpiament els continguts d'un objecte lliure pot ser fàcil o difícil, depenent de l'estructura algebraica de l'objecte en qüestió. Per eixemple, el grup lliure en dos generadors pot ser fàcilment descrit. No obstant, per a contrastar, se sap poc o res sobre l'estructura del àlgebra de Heyting lliure de més d'un generador.El problema de determinar si dos paraules pertanyen a la mateixa relació d'equivalència es coneix com el problema de les paraules.

Com ho sugerixen els eixemples, els objectes lliures semblen construccions de la sintaxis; pero un pot revertir açò, fins a cert grau, dient que la majoria dels usos de la sintaxis es poden explicar i caracterisar com a objectes lliures, de tal forma que faça explicable l'aparent puntuació exagerada.